Plano de Estudos

Álgebra I Alg-I

Contextos

ECTS

6.0 (para cálculo da média)

Objectivos

Facultar conceitos e resultados fundamentais de Álgebra, promovendo a aprendizagem e as capacidades de manipulação algébrica e de abstração e raciocínio matemáticos, seja nas aulas teóricas, seja com a resolução de problemas nas aulas teórico-práticas e autonomamente. Os alunos deverão compreender as noções, resultados e técnicas básicos inerentes a cardinalidades (infinitas) polinómios, grupos e conjuntos parcialmente ordenados, assim como desenvolver a capacidade de os aplicar.

Programa

CONJUNTOS E CARDINALIDADES: Cardinais infinitos, teorema de Cantor, operações com cardinais, hipótese do contínuo, lema de Zorn, axiomas da escolha e da boa ordem. POLINÓMIOS: Anel de polinómios numa indeterminada com coeficientes num corpo: aritmética, algoritmo de divisão, divisibilidade, algoritmo do máximo divisor comum, polinómios irredutíveis e fatorização única. Polinómios com coeficientes inteiros, racionais, reais e complexos, critérios de irredutibilidade. Teorema fundamental da Álgebra. GRUPOS: Grupos, subgrupos, classes laterais, teorema de Lagrange, subgrupos normais, grupo quociente, teoremas do isomorfismo, grupos simples, grupos cíclicos. Grupos de matrizes, de transformações e de simetrias, grupo simétrico. Simplicidade do grupo alterno A5. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS: O cpo dos subgrupos de um grupo. Representação de cpos por diagrama de Hasse. Reticulados distributivos, modulares e álgebras de Boole. O reticulado dos subgrupos normais de um grupo finito.

Método de Avaliação

Os alunos podem ser avaliados através de testes ou exame final. Todos os alunos têm acesso a duas avaliações. A avaliação por testes é constituída por dois testes, com peso igual no cálculo da nota, a realizar durante o período de aulas. Os alunos que compareçam ao primeiro teste e não desistam terão os testes como primeira avaliação e serão excluídos do primeiro exame. Todos os alunos podem comparecer ao segundo exame para aprovação ou melhoria de nota. A avaliação poderá ser complementada com uma prova oral quando for necessária para confirmar a nota.

Carga Horária

Bibliografia

Principal

• A First Course in Abstract Algebra, 7th ed.: J. B. Fraleigh 2014 Pearson
• Anéis e Corpos, Uma Introdução, 2ª ed.: G. Gomes 2021 Departamento de Matemática da FCUL
• Abstract Algebra, An Introduction, 3rd ed.: T. W. Hungerford 2013 Brooks/Cole
• Notas teóricas de apoio: I. Ferreirim 2025 online na plataforma moodle

Secundária

• Rings, Fields and Groups, 2nd ed.: R. B. J. T. Allenby 1991 Edward Arnold
• Introduction to Algebra, 2nd ed.: Peter J. Cameron 2008 Oxford University Press

Disciplinas de Execução

2025/2026 - 1 Semestre