Plano de Estudos

Integral e Aplicações IApli

Contextos

ECTS

6.0 (para cálculo da média)

Objectivos

Os objetivos desta unidade curricular são: (i) familiarização com conceitos e argumentos fundamentais da teoria do integral de funções, com particular ênfase no estudo do integral de Lebesgue; (ii) o papel da medida na teoria do integral e na definição de espaços das funções somáveis; (iii) aplicações do integral de Lebesgue e transformações integrais.

Programa

O Integral de Riemann em R^n. Conjuntos de medida nula. Caraterização de Lebesgue da integrabilidade segundo Riemann. Teoria geral do integral: funções elementares e funções somáveis. Propriedades do integral e teoremas de  convergência (de Levi, de Fatou e de Lebesgue). O teorema de Fubini. O teorema de Riesz-Fisher da completude do espaço das funções somáveis. O integral de Lebesgue num espaço euclidiano de dimensão n.  Funções mensuráveis. Espaços de medida abstratos e integração: Espaços de medida abstratos; funções mensuráveis e integral. Exemplos:  integração para a medida de contagem e séries; integrais impróprios de Lebesgue. Aplicações: Espaços de Banach e de Hilbert. Espaços Lp. solução do problema das séries de Fourier. A transformação de Fourier.

Método de Avaliação

As aulas teóricas são expositivas. Nas aulas teórico-práticas os alunos são chamados a participar activamente na resolução e discussão dos exercícios. Os recursos utilizados nas aulas são disponibilizados na plataforma Fenix. A avaliação consiste num exame final escrito. A avaliação contínua pode ser um factor positivo na nota final. Exame oral pode ser considerado necessário.

Carga Horária

Bibliografia

Principal

• 1. Integral, Measure & Derivative: A Unified Approach: G. E. Shilov & B. L. Gurevich 1977 Dover, New York, 1977

Secundária

• Walter Rudin. Real and complex analysis. 3rd edition. Mcgraw-Hill 1987.:

Disciplinas de Execução

2025/2026 - 2 Semestre

2024/2025 - 2 Semestre

2023/2024 - 2 Semestre

2026/2027 - 2 Semestre