Plano de Estudos
Geometria Diferencial GDif
Contextos
Groupo: 14_LFIS 2023/24 > 1º Ciclo > Licenciatura em Física, Ramo ou Minor > Minor em Matemática > 3º ano > 559_Minor em Matemática
ECTS
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Complementar a formação de Geometria Euclideana em dimensão dois e três abrindo a perspectiva ao estudo das variedades. Dar ao aluno a formação geométrica básica para qualquer estudo avançado em Análise, Geometria e Topologia. Desenvolver a intuição geométrica pelo estudo de vários exemplos de variedades orientáveis e não orientáveis. Informar o aluno sobre as aplicações da Geometria Diferencial à Física, à modelação geométrica, à Geometria simpléctica, à Mecânica e à Visão.
Programa
Revisões de curvas. Superfícies em R^3. Cartas locais e parametrizações. Superfícies de revolução, regradas e gráfico. Aplicação de Gauss, primeira e segunda forma fundamental. Curvaturas, Teorema de Gauss. Caracterização dos pontos por meio das curvaturas. Sup. minimais. T. Fundamental da T. das Superfícies. Assímptotas, curvas principais e geodésicas. Curv. geodésica e referencial de Darboux. Transp.paralelo e propriedades. Geodésicas em sup. de revolução. Estudo de algumas superfícies. Variedades diferenciáveis, fibrado tangente. Campos vectoriais, parêntesis de Lie. Formas diferenciais. Deriv. covariante. Dim 2: Orientação e integração de f. diferenciais de grau 1 e 2 relativamente a polígonos contidos numa parametrização. Bordo orientado de um polígono. T. de Stokes. T. de Gauss-Bonnet: Holonomia, variação de ângulos entre curvas. Ângulos internos e externos. Polígonos geodésicos. Param. regulares ortogonais. Exemplos. Característica de Euler-Poincaré e T. de Gauss-Bonnet.
Método de Avaliação
Aulas semanais teóricas e teórico-práticas, estas últimas destinadas à discussão e apresentação de exercícios previamente propostos. Alguns exercícios mais laboriosos serão destinados a uma avaliação contínua, para os alunos que sintam mais à vontade. Será realizado um teste intermédio que poderá contar como parte do exame final. A avaliação final constará de prova escrita, e possibilidade de realização de uma prova oral em casos de nota limite (elevada ou baixa) na escrita.
Carga Horária
Carga Horária de Contacto -
Trabalho Autónomo - 112.0
Carga Total -
Bibliografia
Principal
- 1. do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis. 2. F. Warner Foundations of Differential manifolds and Lie Groups. Springer GTM, 1983. 3. Barret O'Neill, Differential Geometry, Academic Press 4. Theodore Shiffrin, Differential Geometry, a first course in curves and surfaces, Web notes.:
- 1. do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis. 2. F. Warner Foundations of Differential manifolds and Lie Groups. Springer GTM, 1983. 3. B. O'Neill, Differential Geometry, Academic Press 4. A. Neves, notas de curso no Imperial College disponíveis online 4. Theodore Shiffrin, Differential Geometry, a first course in curves and surfaces, Web notes.:
Secundária
- Colecção de folhas de exercícios compilada pela docente.: