Disciplina Curricular
Análise Complexa e Equações Diferenciais ACEDif
Licenciatura Bolonha em Física - 13_LFIS 2017/18 a 2022/23
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Providenciar ao estudante alguns complementos na teoria básica das funções de uma variável complexa e nos fundamentos da teoria das equações diferenciais ordinárias, e dar uma iniciação ao estudo das equações com derivadas parciais. Pretende-se que o estudante seja capaz de resolver problemas de nível introdutório e médio nos tópicos abordados. Em particular, deve ser capaz de utilizar equações diferenciais na construção de modelos matemáticos simples ligados às ciências
Programa
Análise Complexa: Aritmética e Topologia no plano complexo. Continuidade de funções complexas de variável complexa. Exemplos: exponencial, trigonométricas e hiperbólicas e suas inversas; domínios de definição e funções multiformes (raiz, logaritmo). Diferenciabilidade; equações de Cauchy-Riemann. Funções analíticas e holomorfas; séries de potências e o teorema de Taylor. Fórmulas integrais de Cauchy; teorema de Liouville; teorema fundamental da Álgebra. Teorema dos resíduos. Cálculo de resíduos e aplicações. Teorema de Morera. Séries de Laurent; singularidades isoladas, pólos e singularidades essenciais. Funções harmónicas: propriedade de média e princípio de máximo. Equações Diferenciais: 1. Equações Diferenciais Lineares. Valores e vectores próprios generalizados. Classificação de sistemas no plano. Teoria Geral de Sistemas Lineares: exponencial de matrizes, forma canónica de Jordan real, solução geral, fórmula de variação das constantes. Fluxo de uma Equação Linear. Atractores Lineares. 2. Equações Diferenciais Não-Lineares. Campos vectoriais, trajectória e fluxo, retrato de fase, teorema do fluxo tubular. Estabilidade de linear de pontos de equilíbrio. Estabilidade assimptótica. 3. Equações diferenciais parciais da Física-Matemática: Laplace, calor e ondas. Princípio de máximo para a equação de Laplace. Séries de Fourier e separação de variáveis para equações em dimensão 1.
Métodos de ensino e avaliação
Aulas teóricas expositivas com incidência nos métodos e no significado dos resultados principais. Aulas teórico-práticas de resolução problemas pelos alunos. Os alunos são estimulados a resolver problemas de dificuldade variável, desde a rotina ao desafio, para testarem o seu grau de domínio da matéria. Teste escrito facultativo realizado em Novembro com classificação 10 /20. Exame final com classificação 20/20 ou 10/20 para estudantes com aprovação no teste e que querem utilizar a nota nele obtida.