Disciplina Curricular
Integral e Aplicações IApli
Licenciatura Bolonha em Física - 12_Plano 2015/16 e 2016/17
Contextos
Grupo: 12_Plano 2015/16 e 2016/17 > 1º Ciclo > Ramos > Minor em Matemática > Optativas > 3º Ano > 559_Minor em Matemática
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Os objetivos desta unidade curricular são: (i) familiarização com conceitos e argumentos fundamentais da teoria da medida e do integral de funções no contexto desta, com particular ênfase no manuseamento do integral de Lebesgue; (ii) comparação com as propriedades do integral de Riemann; (iii) compreensão do papel da medida e do integral na definição de espaços importantes de funções.
Programa
Integral de Riemann e medida de Jordan. Medida de Lebesgue e integral de Lebesgue: Medida exterior de Lebesgue; conjuntos mensuráveis segundo Lebesgue; exemplo de um conjunto não mensurável segundo Lebesgue. Funções mensuráveis; caraterização de Lebesgue da integrabilidade segundo Riemann. Integral de Lebesgue. Teoremas de convergência. Os três princípios de Littlewood (os teoremas de Egorov e de Lusin). Os teoremas fundamentais do cálculo para o integral de Lebesgue; o teorema da mudança de variáveis. Espaços de medida abstratos e integração: Espaços de medida abstratos; funções mensuráveis e integral; os teoremas da convergência. Exemplos: integração para a medida de contagem e séries; integrais impróprios de Lebesgue; o teorema de Fubini-Tonelli para o integral de Lebesgue. Aplicações: Espaços de Banach e de Hilbert; o teorema de Riesz-Fischer. Espaços Lp; solução do problema das séries de Fourier.
Métodos de ensino e avaliação
As aulas teóricas são expositivas. Nas aulas teórico-práticas os alunos são chamados a participar activamente na resolução e discussão dos exercícios. Os recursos utilizados nas aulas são disponibilizados na plataforma Moodle. A avaliação consiste num exame final escrito. A avaliação contínua pode ser um factor positivo na nota final. Exame oral pode ser considerado necessário.