Disciplina Curricular
Introdução à Teoria dos Números ITN
Licenciatura Bolonha em Física - 13_LFIS 2017/18 a 2022/23
Contextos
Grupo: 13_LFIS 2017/18 a 2022/23 > 1º Ciclo > Licenciatura em Física, Ramo ou Minor > Minor em Matemática > 559 - Minor em Matemática > 2º semestre
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Formação básica em matemática. Formação complementar em matemática com o objectivo de proporcionar um mais vasto leque de conhecimentos matemáticos. Panorâmica da teoria elementar dos números e das suas aplicações à criptografia.
Programa
Números primos e a unicidade de fatorização. Algumas estimativas de Chebyshev. A fórmula do produto de Euler para a função zeta e a hipótese de Riemann. Estudo básico das congruências. Raízes primitivas módulo um primo. A troca de chaves Diffie-Hellman e RSA. A lei da reciprocidade quadrática de Gauss. Testes probabilísticos de primalidade. O lema de Hensel. Somas de dois quadrados. Geometria dos números e o teorema dos quatro quadrados de Lagrange. Introdução à aproximação diofantina. A equação de Pell. Números de Liouville. A conjetura abc. Frações continuadas e aproximações racionais. Se possível, brevíssima exposição às curvas elípticas em corpos finitos e sua importância na criptografia. Com exceção do último tópico, os outros tópicos seguem grosso modo as "Lições de Teoria dos Números" (ver bibliografia). Se o tempo permitir, será oferecido outro material desta referência.
Métodos de ensino e avaliação
As aulas teóricas são expositivas procurando a interação permanente com os alunos. Nas aulas teórico-práticas, discutem-se exercícios. A avaliação consiste em quatro trabalhos para casa, cada um valendo dois valores. Ao valor dos três melhores trabalhos é adicionada a nota de um exame final para catorze valores. O aluno pode optar por fazer apenas um exame final (para 20 valores). O regente reserva-se o direito a efetuar orais sempre que o julgar necessário.