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    {
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      "source": [
        "#**Química Computacional - Aula Prática 4**\n",
        "\n",
        "**O método variacional**\n",
        "\n",
        "\\\\\n",
        "\n",
        "---\n",
        "Bibliografia de Suporte:\n",
        "\n",
        "Attila Szabo and Neil S. Ostlund, Modern Quantum Chemistry: Introduction to Advanced Electronic Structure Theory, Dover Publications Inc., New York, 1996,  **Capítulo 1, Secção 1.3**\n",
        "\n",
        "---\n",
        "\n",
        "\\\\\n",
        "\n",
        "**1. O método variacional**\n",
        "\n",
        "Verificámos na aula teórica que a equação de Schrödinger (em u.a.) de um electrão movendo-se **numa dimensão** sob a influência do potential, $-\\delta(x)$ é dada por\n",
        "\n",
        "$(-\\frac{1}{2}\\frac{d}{dx²}-\\delta(x))\\left|{ϕ_T}\\right\\rangle = \\mathcal{E}\\left|{ϕ_T}\\right\\rangle$\n",
        "\n",
        "verificámos também que $\\left|{ϕ_T}\\right\\rangle = Ne^{-\\alpha x^{2}}$ pode ser usada função de onda teste.\n",
        "\n",
        "**Exercício 1**\n",
        "\n",
        "Verifique que $\\left|{ϕ_T}\\right\\rangle$ é normalizada se $N = \\pm (\\frac{2\\alpha}{π})^{1/4}$\n",
        "\n",
        "Vai necessitar do integral\n",
        "\n",
        "$\\int_{-\\infty}^{\\infty} x^{2m} e^{-\\alpha x^2} \\,dx = \\frac{(2m)! \\, \\pi^{1/2}}{2^{2m} \\, m! \\, \\alpha^{m+1/2}}$\n",
        "\n",
        "**Exercício 2**\n",
        "\n",
        "Faça uma representação gráfica de $\\left|{ϕ_T}\\right\\rangle$ em função de $x$. Considere inicialmente o valor de $\\alpha$ = 1.\n",
        "\n",
        "Nota1: para representar funções, entre várias bibliotecas, podemos usar a biblioteca Matplotlib. Para importar esta biblioteca fazemos `import matplotlib.pyplot as plt`\n",
        "\n",
        "Nota2: A sintaxe básica para representar uma função é a seguinte:\n",
        "\n",
        "```\n",
        "import matplotlib.pyplot as plt\n",
        "import numpy as np\n",
        "\n",
        "# Cria um conjunto de 100 valores de x de 0 a 10 (podemos definir o intervalo)\n",
        "x = np.linspace(0, 10, 100)\n",
        "\n",
        "# definir a função\n",
        "f = 2*x**2 + 3\n",
        "\n",
        "# Representar a função f em ordem a x\n",
        "plt.plot(x, f)\n",
        "# Colocar uma legenda\n",
        "plt.legend(['função f'])\n",
        "# Legendar o eixo dos xx\n",
        "plt.xlabel('x')\n",
        "# Legendar o eixo dos yy\n",
        "plt.ylabel('a minha funçãof(x)')\n",
        "# Limites do eixo dos xxx\n",
        "plt.xlim(0, 10)\n",
        "# mostrar o gráfico\n",
        "plt.show()\n",
        "```\n",
        "\n",
        "Nota3: a constante $\\pi$ está definida na biblioteca Numpy através de `np.pi`\n",
        "\n",
        "Nota4: a função exponencial $e^x$ está definida na biblioteca Numpy através de `np.exp(x)`"
      ],
      "metadata": {
        "id": "KqADZfYeHzHd"
      }
    },
    {
      "cell_type": "code",
      "source": [
        "import matplotlib.pyplot as plt\n",
        "import numpy as np\n",
        "\n"
      ],
      "metadata": {
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      },
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      "outputs": []
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "source": [
        "**Exercício 3**\n",
        "\n",
        "Verificámos também que o valor esperado da energia era dado por\n",
        "\n",
        "$\\left\\langle {ϕ_T}\\right| \\mathcal{H}\\left|{ϕ_T}\\right\\rangle = E_0 = \\frac{\\alpha}{2}- (\\frac{\\pi}{2\\alpha})^{-\\frac{1}{2}} \\geq  \\mathcal{E}_0$\n",
        "\n",
        "Encontre o valor mínimo da energia $E_0$\n",
        "\n",
        "Nota1: podemos obter o minimo de uma função calculado $\\frac{dE_0}{d\\alpha} = 0$ e $\\frac{d^2E_0}{d\\alpha^2}$. Se  $\\frac{dE_0}{d\\alpha}$ existir e  $\\frac{d^2E_0}{d\\alpha^2} > 0$, a função tem um mínimo.\n",
        "\n",
        "**Exercício 4**\n",
        "\n",
        "Nem sempre temos a facilidade de conseguir explicitamente diferenciar o valor da energia em função do parâmetro variacional. Contudo, existem métodos numéricos que que nos permitem tentar encontrar o mínimo de funções. Alguns desses métodos encontram-se implementados na função `minimize` da biblioteca Scipy. A sintaxe mínima é a seguinte:\n",
        "\n",
        "```\n",
        "import numpy as np\n",
        "from scipy.optimize import minimize\n",
        "\n",
        "# Define a função a minimizar usando o parâmetro x\n",
        "def min(x):\n",
        "    # Função\n",
        "    E = x*2 + 7/x\n",
        "    # Imprime o valor de x e da função a cada ciclo\n",
        "    print(\"x = {:.6f}, E = {:.16f}\".format(x[0], E[0]))\n",
        "    # devolve o valor de E\n",
        "    return E\n",
        "\n",
        "# Estimativa inicial de x\n",
        "x = 1\n",
        "\n",
        "# podemos definir limites e.g. x pode apenas variar entre [0, ∞)\n",
        "bounds = [(0, None)]\n",
        "\n",
        "# Optimiza a função min variando o parâmetro x com uma tolerância de 1e-6\n",
        "E_min = minimize(min, x, bounds=bounds, tol=1e-6)\n",
        "```\n",
        "\n",
        "Calcule o valor de $\\alpha$ para o qual a energia $E_0$ é minima escrevendo um programa em python."
      ],
      "metadata": {
        "id": "7tBy_ns4snKN"
      }
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    {
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        "import numpy as np\n",
        "from scipy.optimize import minimize\n"
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    {
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        "**Exercício 5**\n",
        "\n",
        "Considere agora a função teste $\\left|{ϕ_T}\\right\\rangle = Ne^{-\\alpha x}$. Faça uma representação gráfica de $\\left|{ϕ_T}\\right\\rangle$ em função de $x$. Considere inicialmente o valor de $\\alpha$ = 1."
      ],
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        "id": "GpkOwOk8bB7z"
      }
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    {
      "cell_type": "code",
      "source": [
        "import matplotlib.pyplot as plt\n",
        "import numpy as np\n"
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    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "source": [
        "**Exercício 6**\n",
        "\n",
        "Para o átomo de hidrogénio, o operador hamiltoneano $H$ (em unidades atómicas) é dado por\n",
        "\n",
        "$$\n",
        "H = -\\overbrace{\\frac{1}{2}\\nabla^2}^{T} - \\overbrace{\\frac{1}{r}}^{V}\n",
        "$$\n",
        "\n",
        "Usando uma função teste $\\left|{ϕ_T}\\right\\rangle = Ne^{-\\alpha x}$, é possível demonstrar que o valor esperado da energia $E_0$ é dado por\n",
        "\n",
        "$$\n",
        "E_0 = \\frac{\\alpha^2}{2}-\\alpha\n",
        "$$\n",
        "\n",
        "Calcule o valor mínimo e $E_0$\n",
        "\n",
        "**Exercício 7**\n",
        "\n",
        "Calcule o valor de $\\alpha$ para o qual a energia $E_0$ é minima escrevendo um programa em python. Compare o valor com a energia exacta para o átomo de hidrogénio (-0.5 Hartree)"
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        "import numpy as np\n",
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