Programa

Análise Complexa e Equações Diferenciais

Licenciatura Bolonha em Matemática

Licenciatura Bolonha em Matemática Aplicada

Programa

Análise Complexa: Aritmética e Topologia no plano complexo. Continuidade de funções complexas de variável complexa. Exemplos: exponencial, trigonométricas e hiperbólicas e suas inversas; domínios de definição e funções multiformes (raiz, logaritmo). Diferenciabilidade; equações de Cauchy-Riemann. Funções analíticas e holomorfas; séries de potências e o teorema de Taylor. Fórmulas integrais de Cauchy; teorema de Liouville; teorema fundamental da Álgebra. Teorema dos resíduos. Cálculo de resíduos e aplicações. Teorema de Morera. Séries de Laurent; singularidades isoladas, pólos e singularidades essenciais. Funções harmónicas: propriedade de média e princípio de máximo. Equações Diferenciais: 1. Equações Diferenciais Lineares. Valores e vectores próprios generalizados. Classificação de sistemas no plano. Teoria Geral de Sistemas Lineares: exponencial de matrizes, forma canónica de Jordan real, solução geral, fórmula de variação das constantes. Fluxo de uma Equação Linear. Atractores Lineares. 2. Equações Diferenciais Não-Lineares. Campos vectoriais, trajectória e fluxo, retrato de fase, teorema do fluxo tubular. Estabilidade de linear de pontos de equilíbrio. Estabilidade assimptótica. 3. Equações diferenciais parciais da Física-Matemática: Laplace, calor e ondas. Princípio de máximo para a equação de Laplace. Séries de Fourier e separação de variáveis para equações em dimensão 1.