Programa

Análise Complexa e Equações Diferenciais

Curso Livre em MINOR - Alunos Externos

Licenciatura Bolonha em Física

Licenciatura Bolonha em Biologia

Licenciatura Bolonha em Matemática

Licenciatura Bolonha em Matemática Aplicada

Licenciatura Bolonha em Química

Licenciatura Bolonha em Estatística Aplicada

Programa

Análise Complexa: Aritmética e Topologia no plano complexo. Continuidade de funções complexas de variável complexa. Exemplos: exponencial, trigonométricas e hiperbólicas e suas inversas; domínios de definição e funções multiformes (raiz, logaritmo). Diferenciabilidade; equações de Cauchy-Riemann. Funções analíticas e holomorfas; séries de potências e o teorema de Taylor. Fórmulas integrais de Cauchy; teorema de Liouville; teorema fundamental da Álgebra. Teorema dos resíduos. Cálculo de resíduos e aplicações. Teorema de Morera. Séries de Laurent; singularidades isoladas, pólos e singularidades essenciais. Funções harmónicas: propriedade de média e princípio de máximo. Equações Diferenciais: 1. Equações Diferenciais Lineares. Valores e vectores próprios generalizados. Classificação de sistemas no plano. Teoria Geral de Sistemas Lineares: exponencial de matrizes, forma canónica de Jordan real, solução geral, fórmula de variação das constantes. Fluxo de uma Equação Linear. Atractores Lineares. 2. Equações Diferenciais Não-Lineares. Campos vectoriais, trajectória e fluxo, retrato de fase, teorema do fluxo tubular. Estabilidade de linear de pontos de equilíbrio. Estabilidade assimptótica. 3. Equações diferenciais parciais da Física-Matemática: Laplace, calor e ondas. Princípio de máximo para a equação de Laplace. Séries de Fourier e separação de variáveis para equações em dimensão 1.