O teorema de Banach-Steinhaus. Revisões sobre Espaços de Hilbert. Exercícios

22 Setembro 2020, 14:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Convergências (pontual e em norma) e limitação de operadores lineares contínuos entre dois espaços formados, i.e. em L(X,Y). O teorema de Banach-Steinhaus: uma demonstração baseada no Teorema de Baire e outra mais direta. Um exemplo de uma sucessão de operadores convergente todo o ponto e não convergente em norma. Revisões sobre Espaços de Hilbert—a desigualdade de Bessel e a identidade de Parseval para sucessões ortonormadas em espaços pré-Hilbertianos; nestes espaços com dimensão infinita, ter uma base Hilbertiana (o.n.-ortonormada gerando um subespaço denso) é equivalente ser separável (i.e. ter um subconjunto denso). O teorema de Riesz-Fischer num espaço de Hilbert com uma base o.n. relativamente à representação em série (de Fourier generalizada) de um elemento qualquer do espaço e a convergência da série dos quadrados dos seus coeficientes. Resolução de alguns exercícios do trabalho de casa facultativo.