Alternativa de Fredholm em espaços normados

23 Novembro 2020, 16:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Um operador linear compacto  T num espaço normado V em si mesmo verifica a alternativa:  i) ou  x-Tx=0 tem solução não nula num subespaço de dimensão finita  n de V;  ii) ou, para cada y em V, a equação  x-Tx=y tem uma única solução x em V, sendo o operador inverso  (I-T)^-1 linear contínuo em V. No caso de V ser um espaço de Banach, na alternativa i) a equação  x-Tx=y é solúvel se e só se y for ortogonal ao núcleo do operador  I-T*, que também tem dimensão  n, onde  T* é o adjunto do operador  T*.