Programa

Álgebra I

Curso Livre em MINOR - Alunos Externos

Licenciatura Bolonha em Física

Licenciatura Bolonha em Biologia

Licenciatura Bolonha em Matemática

Licenciatura Bolonha em Matemática Aplicada

Licenciatura Bolonha em Química

Programa

Conjuntos e cardinais: Relações de ordem parcial, total e de boa ordem. Conjuntos equipotentes e cardinais. Teorema da Cantor. Lema de Schroder-Bernstein e tricotomia entre cardinais. Cardinais infinitos e aritmética dos cardinais. Hipótese do Contínuo. Lema de Zorn, axioma da escolha e da boa ordem. Anel dos inteiros: Revisão das propriedades dos números inteiros: divisibilidade e fatorização em primos. Máximo divisor comum e menor múltiplo comum. Polinómios: Definição de domínio de integrigade e de corpo. Os anéis Zn . O anel de polinómios numa indeterminada com coeficientes num anel e, em particular, num corpo K. Em K[x], aritmética, algoritmos da divisão, do máximo divisor comum e do menor múltiplo comum; equivalência entre ser polinómio irredutível e ser polinómio primo e K[x] como domínio de factorização única. Teorema Fundamental da Álgebra, polinómios irredutiveis em R[x] e em C[x]. Polinómios com coeficientes inteiros e racionais: teorema de Gauss e critérios de irredutibilidade em Q[x]. Grupos. Exemplos, de que se destacam grupos de matrizes, grupos de simetrias e grupos ciclicos. Subgrupos. Classes laterais. Teorema de Lagrange. Subgrupos normais e congruências. Grupo quociente. Teoremas do isomorfismo. Propriedades dos grupos cíclicos e dos grupos simétricos. Simplicidade do grupo alterno A5. Conjuntos parcialmente ordenados: Representação de conjuntos parcialmente ordenados finitos por diagramas de Hasse. Reticulados distributivos, modulares e álgebras de Boole. O reticulado dos subgrupos normais de um grupo finito.