Programa

Álgebra Linear

Licenciatura Bolonha em Bioquímica

Licenciatura Bolonha em Química

Licenciatura Bolonha em Química Tecnológica

Programa

I) Sistemas de equações lineares e matrizes. Interpretação geométrica e representação matricial de sistemas de equações lineares. Operações com matrizes: soma, produto por um escalar, produto e transposição. Matrizes em forma de escada e em forma de escada reduzida. Transformações elementares e matrizes elementares. Característica de uma matriz. Matrizes invertíveis e algoritmo para a inversão. Discussão e resolução de sistemas de equações lineares. Método de eliminação de Gauss-Jordan. II) Determinantes. Definição e propriedades. Teorema de Laplace. Cálculo do determinante por eliminação de Gauss. Determinante do produto de matrizes quadradas. Adjunta de uma matriz e relação com a matriz inversa. Regra de Cramer. III) O espaço vectorial R^n. Vectores no plano e no espaço. Operações com vectores. Introdução ao espaço vectorial R^n. Subespaços vectoriais. Combinações lineares. Geradores. Dependência e independência linear. Bases e dimensão. Espaços das linhas, das colunas e núcleo de uma matriz. Subespaços vectoriais e afins de R^n como conjuntos de soluções de sistemas de equações lineares. IV) Aplicações/Transformações lineares. Aplicações lineares de R^n em R^m. Matriz canónica, núcleo e imagem. Sobrejectividade e injectividade de transformações lineares. Composição de transformações lineares e sua relação com o produto de matrizes. Transformações lineares invertíveis e relação entre as matrizes canónicas de uma transformação linear e da sua inversa. V) Valores e vectores próprios. Valores, vectores e subespaços próprios. Polinómio característico. Multiplicidades algébrica e geométrica de um valor próprio. Independência linear de vectores próprios associados a valores próprios distintos. Diagonalização de matrizes. Aplicação ao cálculo das potências de uma matriz. Diagonalizabilidade de matrizes com valores próprios simples e de matrizes simétricas. Formas quadráticas. VI) O espaço euclidiano R^n. Produto interno canónico. Norma, distância, ângulos e projecções ortogonais. Desigualdades triangular e de Cauchy-Schwarz. Ortogonalidade do espaço nulo e do espaço das linhas de uma matriz. Bases ortogonais e ortonormadas. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Produtos externo e misto em R^3 e relação com determinantes. Cálculo de áreas e volumes.