Programa

Análise Matemática III

Licenciatura Bolonha em Matemática

Licenciatura Bolonha em Matemática Aplicada

Programa

Breve referência aos axiomas de corpo e de ordem do conjunto R dos números reais. Axioma do Supremo. Propriedade Arquimedeana, densidade do conjunto dos racionais em R, Princípio do Encaixe, Sucessões de Cauchy, Completude de R. Sucessões limitadas. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Limite superior e limite inferior. Breve introdução aos espaços métricos. Conjuntos abertos e conjuntos fechados. Equivalência de métricas. Os espaços Euclideanos Rn. Fecho de conjunto; completude de Rn, Teorema de Weierstrass para funções reais de variável vectorial. Espaço C[a, b]. Convergência uniforme de sucessões e de séries de funções. Passagem ao limite sob o sinal de integral. Introdução à variável complexa: números complexos (forma polar, raízes); funções complexas de variável complexa; função exponencial, funções trigonométricas e hiperbólicas. Equações diferenciais ordinárias: generalidades e exemplos. Equações escalares: algumas classes resolúveis por primitivação directa. Problema de Cauchy: existência e unicidade local (demonstração no caso escalar: Lema de Gronwall e iteradas de Picard). Estabilidade dos equilíbrios em equações autónomas ou de variáveis separáveis. Equações lineares de ordem superior à primeira: descrição do espaço das soluções e métodos de resolução de algumas classes de equações com coeficientes constantes ou variáveis. Solução por séries. Breve introdução às Equações às Derivadas Parciais: Equações lineares de primeira ordem com coeficientes constantes e variáveis. A equação do transporte e outras aplicações.