Programa

Integral e Aplicações

Licenciatura Bolonha em Física

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Integral de Riemann e medida de Jordan. Medida de Lebesgue e integral de Lebesgue: Medida exterior de Lebesgue; conjuntos mensuráveis segundo Lebesgue; exemplo de um conjunto não mensurável segundo Lebesgue. Funções mensuráveis;  caraterização de Lebesgue da integrabilidade segundo Riemann. Integral de Lebesgue. Teoremas de  convergência. Os três princípios de Littlewood (os teoremas de Egorov e de Lusin).  Os teoremas fundamentais do cálculo para o integral de Lebesgue; o teorema da mudança de variáveis. Espaços de medida abstratos e integração: Espaços de medida abstratos; funções mensuráveis e integral; os teoremas da convergência.  Exemplos:  integração para a medida de contagem e séries; integrais impróprios de Lebesgue; o teorema de Fubini-Tonelli para o integral de Lebesgue. Aplicações: Espaços de Banach e de Hilbert; o teorema de Riesz-Fischer. Espaços Lp; solução do problema das séries de Fourier.