A transformação de Fourier em L^1(R^N)

13 Abril 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A analogia clássica dos coeficientes de Fourier e da série de Fourier, respetivamente, com a transformação de Fourier e da sua inversa, para recuperar a função de partida. As suas definições clássicas para as funções regulares com decrescimento moderado no infinito, em particular para as funções de Schwartz em R, generalizam-se imediatamente às funções somáveis de várias variáveis, i.e., às funções de L1(RN). As propriedades básicas da transformação de Fourier relativamente às translações, às dilações e ao produto de convolução. A transformação de Fourier e a sua inversa são aplicações lineares contínuas de  L1(RN) nas funções limitadas de  R Ncom a norma do supremo. 

Continuação da resolução de exercícios pelos alunos—a convergência fraca, i.e. dos produtos internos com qualquer função fixa, e a convergência das normas num espaço de Hilbert implica a convergência forte, i.e. na norma hilbertiana.