Apresentação. Breve história do integral até Lebesgue

9 Fevereiro 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Apresentação do programa, da bibliografia e da avaliação (preferencialmente presencial segundo o calendário do Fénix, complementada por avaliação continuada).Breve história do integral: da quadratura da parábola por Arquimedes (séc. III AEC) até mas áreas das parábolas de grau n≥3 por Cavalieri (~1630) e Fermat (~1650); do integral de Cauchy (1821) para as funções contínuas à inovação dos critérios de integrabilidade das funções limitadas por Riemann (1854, publicados só em 1867); a demonstração de Darboux (1875) e o novo integral de Lebesgue (1902), fundamental na Análise Matemática moderna.A abordagem do integral de Lebesgue, que parte de somas com partições do contradomínio) permite generalizar substancialmente a noção de integral de Riemann (limitada a funções de variável real e a somas com partições do domínio), não só relativamente ao domínio das funções, como na completação do espaço das funções integráveis e nos teoremas dos limites de integrais, resolvendo, em particular, questões fundamentais das séries de Fourier.Revisão do integral de Riemann para funções limitadas definidas em blocos de R^N (produtos de intervalos fechados de R), As somas inferiores e superiores de Darboux, como aproximações convergentes, por defeito ou por excesso, do integral de Riemann. Conjuntos de medida nula e conjuntos de medida cheia em blocos de   R^N.