Resolução da equação das ondas via transformação de Fourier

29 Abril 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Revisão da corda vibrante e a fórmula de d'Alembert, em particular para o problema de Cauchy da equação das ondas em R. O problema de Cauchy   Rn com condições iniciais no espaço de Schwartz. A transformação de Fourier reduz o problema à solução da equação paramétrica das oscilações lineares para a transformada de Fourier cuja solução, via transformação de Fourier inversa dá uma fórmula integral, para as transformadas de Fourier das condições iniciais com as funções coseno e seno, que resolve a equação das ondas. No caso unidimensional a fórmula de d'Alembert é recuperada dessa fórmula. A conservação da energia e a unicidade do problema de Cauchy. 

Exercício de desenvolvimento: demonstrar que a solução de Laplace do problema de Cauchy para a equação do calor em   Rn , quando o t—>0,  tende para a condição inicial f:(
a) uniformemente em x, quando f é uma função de Schwartz (indefinidamente diferenciácvel com decrescimento rápido no infinito);
(b) na norma L1(Rn) se f é uma função neste espaço;
(c)  na norma  L2(Rn) se  f é uma função neste espaço;