AULA 19

24 Novembro 2017, 10:30 • Fernando Ferreira

Discussão genérica sobre os ordinais. Iremos ver que toda a boa ordem é isomorfa a exatamente um ordinal. Omega é o primeiro ordinal infinito, também conhecido por aleph_0. Iremos ver (sem necessitar do axioma da escolha) que há ordinais que não são nem finitos nem numeráveis. O primeiro ordinal nessas condições é, por definição, o aleph_1. Com o axioma da escolha, todo o conjunto pode ser bem ordenado e, portanto, todo o conjunto é equipotente a um ordinal. Ao menor ordinal equipotente a um conjunto chama-se a cardinalidade do conjunto. A hipótese do contínuo diz que o menor ordinal equipotente ao conjunto dos números é o aleph_1. Equivalentemente, que há uma bijeção entre R e aleph_1. As próximas aulas justificarão todas estas asserções. (Uma asserção que não será justificada é a seguinte: a hipótese do contínuo não pode ser demonstrada nem refutada em ZFC.)