Programa

Teoria dos Números Algébricos

Mestrado Bolonha em Matemática

Programa

1. Introdução. - Números inteiros: divisibilidade e fatorização. - Domínios euclideanos, domínios de ideais principais e domínios de factorização única. 2. Anéis de inteiros algébricos. - Corpos de números algébricos e anéis de números inteiros algébricos. - Bases inteiras. Exemplos: corpos quadráticos e corpos ciclotómicos. Existência de bases inteiras para os ideais de um anel de números inteiros algébricos. - Domínios de Dedekind: fatorização de ideais; existência e unicidade de fatorização em ideais primos. - Teorema Chinês dos Restos: norma de um ideal; identidade fundamental sobre a fatorização dos ideais gerados por um número primo. - Teorema de Dedekind e Teorema de Dedekind-Kummer. 3. Fatorização em corpos quadráticos e em corpos ciclotómicos. 4. O grupo das classes de ideais. - Finitude do grupo das classes de ideais. - Número de classe de um corpo de números algébricos. Caracterização dos anel de inteiros que são domínios de ideais principais. - Redes e redes completas de um espaço euclideano. A cota de Minkowski. 5. Unidades em anéis de números inteiros algébricos. - Teorema das Unidades de Dirichlet. - Lema de Kummer sobre a inexistência de soluções inteiras não-triviais da equação de Fermat para números primos regulares.