Plano de Estudos

Cálculo Diferencial e Integral III CDI-III

Contextos

ECTS

6.0 (para cálculo da média)

Objectivos

Familiarizar o estudante com a teoria básica das funções analíticas de uma variável complexa, com os fundamentos e técnicas elementares das equações diferenciais ordinárias (EDOs) escalares e sistemas lineares de EDOs e com uma introdução a séries de Fourier (motivada pela equação do calor). Deve ser dada ênfase a aplicações. Pretende-se que o estudante seja capaz de resolver problemas de nível introdutório e médio nos tópicos abordados. Em particular, deve ser capaz de usar as fórmulas integrais de Cauchy e o teorema dos resíduos para calcular integrais complexos ao longo de caminhos fechados, e de utilizar equações diferenciais na resolução de modelos matemáticos simples ligados às ciências.

Programa

Cálculo com variável complexa: números complexos (forma polar, raízes); funções complexas de variável complexa; funções exponencial, trigonométricas, logaritmos; funções holomorfas; equações de Cauchy-Riemann; integral de caminho; teorema de Cauchy; fórmulas integrais de Cauchy e aplicações; séries de potências; séries de Taylor; zeros de funções analíticas; séries de Laurent; singularidades; cálculo de resíduos; aplicações. Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs): generalidades e exemplos; métodos elementares de integração de equações diferencias ordinárias escalares; aplicações a modelos de crescimento populacional e do movimento; equações escalares lineares de ordem n; sistemas lineares de EDOs de 1a ordem; aplicações; teorema de existência e unicidade (local); método de Picard. Séries de Fourier: motivação com a equação do calor; funções periódicas; séries de Fourier; teorema de Fourier, identidade de Parseval; convergência pontual ,em média quadrática e uniforme.

Método de Avaliação

Exame final escrito (15 valores) e uma componente de avaliação contínua que consiste na entrega semanal de exercícios resolvidos ( 1 valor) e na realização de dois mini-testes (2 valores cada). Em casos devidamente justificados os alunos estão dispensados da avaliação contínua, valendo o exame 20 valores.

Carga Horária

Bibliografia

Principal

• Análise Complexa e Equações Diferenciais : L. Barreira 2015 IST Press (3ª ed.), Lisboa, 2015
• Variável Complexa - Teoria Elementar e Exercicios Resolvidos: M.A. Carreira e M.S.M. Nápoles 2016 Textos de Matemática, DM-FCUL, Lisboa, 2016
• Basic Complex Analysis: J.E. Marsden, M.J. Hoffman 1999 W. H. Freeman and Company, 3rd ed., New York, 1999
• Cálculo, Vol. II: J. Stewart 2006 5a ed., Thomson, S. Paulo, 2006

Secundária

• Cálculo Diferencial e Integral III - Notas do curso: T. Faria 2024 Apontamentos teóricos fornecidos pela docente da disciplina.
• Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable: L.  Ahlfors 1979 McGraw-Hill, 3rd edition, 1979
• Differential Equations and their Applications: M. Braun 1993 4th Ed., Springer-Verlag, 1993
• Complex Variables and Applications: R. Churchill 1960 Mc-GRAW-HILL, 2nd edition, 1960
• Curso Elementar de Equações Diferenciais: M. Ramos 2000 Textos de Matemática, volume 14, Departamento de Matemática da FCUL, 2000

Disciplinas de Execução

2026/2027 - 1 Semestre