Plano de Estudos

Álgebra III A-III

Contextos

ECTS

6.0 (para cálculo da média)

Objectivos

Este curso tem como objetivo complementar e aprofundar o conhecimento da Álgebra ao nível da licenciatura e é dedicado principalmente ao estudo da teoria de Galois.

Programa

1. PRELIMINARES Breve revisão e complementação de alguns tópicos de disciplinas anteriores: extensões de corpos; extensões algébricas; corpos de fatorização; extensões separáveis. 2. O TEOREMA FUNDAMENTAL DA TEORIA DE GALOIS Grupos de automorfismos de corpos. Extensões normais e extensões de Galois. O Teorema Fundamental da Teoria de Galois. Exemplos. Números construtíveis. Resolubilidade de equações polinomiais. 3. APLICAÇÕES DA TEORIA DE GALOIS O Teorema do Elemento Primitivo. O Teorema Fundamental da Álgebra. Corpos ciclotómicos. O Teorema da Base Normal. Extensões cíclicas. Teorema da Resolubilidade de Galois. Polinómios simétricos 3. TÓPICOS ADICIONAIS 3.1 Fechos algébricos 3.2 Introdução à Teoria Algébrica dos Números: números inteiros algébricos; ideais primos em anéis de números inteiros algébricos; fatorização única em ideais primos; aplicação a corpos quadráticos e corpos ciclotómicos.

Método de Avaliação

Avaliação por exame final e entrega obrigatória de exercícios (trabalhos para casa) com possibilidade de apresentações orais. A avaliação poderá ser complementada com uma prova oral. Os trabalhos de casa terão um peso de 20% na avaliação final.

Carga Horária

Bibliografia

Principal

• Teoria de Galois: O. J. Brison 2003 Departamento de Matemática da FCUL
• The Fundamental Theorem of Algebra: B. Fine and G. Rosenberger 1997 Springer
• Polinómios: P. J. Freitas 2010 Departamento de Matemática da FCUL
• Abstract Algebra, An Introduction, 3rd ed.: T. W. Hungerford 2013 Brooks/Cole
• Galois Theory: I. Stewart 2015 Chapman and Hall/CRC
• Teoria dos Números Algébricos: C. André & A.L. Correia 2024/25 Departamento de Matemática da FCUL (em preparação)

Secundária

Disciplinas de Execução

2026/2027 - 2 Semestre