Disciplina Curricular

Introdução à Teoria dos Números ITN

Licenciatura Bolonha em Matemática - 4_LMat 2022/23

Contextos

Peso

6.0 (para cálculo da média)

Objectivos

Formação básica em matemática. Formação complementar em matemática com o objectivo de proporcionar um mais vasto leque de conhecimentos matemáticos. Panorâmica da teoria elementar dos números e das suas aplicações à criptografia.

Programa

Números primos e a unicidade de fatorização. Algumas estimativas de Chebyshev. A fórmula do produto de Euler para a função zeta e a hipótese de Riemann. Estudo básico das congruências. Raízes primitivas módulo um primo. A troca de chaves Diffie-Hellman e RSA. A lei da reciprocidade quadrática de Gauss. Testes probabilísticos de primalidade. O lema de Hensel. Somas de dois quadrados. Geometria dos números e o teorema dos quatro quadrados de Lagrange. Introdução à aproximação diofantina. A equação de Pell. Números de Liouville. A conjetura abc. Frações continuadas e aproximações racionais. Se possível, brevíssima exposição às curvas elípticas em corpos finitos e sua importância na criptografia. Com exceção do último tópico, os outros tópicos seguem grosso modo as "Lições de Teoria dos Números" (ver bibliografia). Se o tempo permitir, será oferecido outro material desta referência.

Métodos de ensino e avaliação

A avaliação consiste em quatro trabalhos para casa, cada um valendo dois valores. Ao valor dos três melhores trabalhos é adicionada a nota de um exame final para catorze valores. O aluno pode optar por fazer apenas um exame final (para 20 valores). O regente reserva-se o direito a efetuar orais sempre que o julgar necessário.

Disciplinas Execução

2024/2025 - 2 Semestre

2023/2024 - 2 Semestre

2022/2023 - 2 Semestre