Plano de Estudos
Análise Matemática III AM-III
Contextos
Groupo: 5_LMA 2026/27 > 1º Ciclo > Matemática Aplicada - Tronco Comum > 2º ano
ECTS
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Revisitar alguns conteúdos das disciplinas de Análise Matemática I e II a um nível mais profundo e rigoroso e completar conhecimentos, no que se refere a: aspectos topológicos de ℝ and ℝⁿ e teoremas fundamentais da continuidade, com uma introdução aos espaços normados e métricos e um exemplo aprofundado de espaços de funções contínuas. Estudo de equações diferenciais ordinárias. Os alunos devem ficar com uma formação sólida em Análise Matemática, ser capazes de manejar estes temas com à vontade e de os aplicar em outros cursos/disciplinas. Pré-requisitos aconselháveis: Análise Matemática I e II, ALGA I e II.
Programa
1) Fundamentos da Análise Real: O axioma do supremo e consequências. Sublimites, limites superior e inferior de uma sucessão. O Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sucessões de Cauchy. Completude de R. 2) Espaços métricos: Métricas e normas. Noções topológicas básicas em espaços métricos. Completude e compacidade. O Teorema de Heine-Borel. 3) Funções e continuidade: Funções contínuas em espaços métricos. O Teorema de Weierstrass. Convergência pontual e uniforme de sucessões de funções. O espaço C[a,b]. Séries de funções. Séries de potências. Funções lipschitzianas e contrações. O Teorema do Ponto Fixo de Banach. 4) Introdução às equações diferenciais ordinárias: Métodos elementares de integração de equações escalares. Equações escalares lineares de ordem n. Sistemas lineares de 1.ª ordem; método da variação das constantes. O teorema de existência e unicidade; iteradas de Picard. Prolongamento de soluções.
Método de Avaliação
Exame final ou testes ao longo do semestre.
Carga Horária
Carga Horária de Contacto -
Trabalho Autónomo - 98.0
Carga Total -
Bibliografia
Principal
- Curso Elementar de Equações Diferenciais Textos de Matemática: Miguel Ramos 2002 DM-FCUL
- Introdução à Análise em R^n: J. Campos Ferreira 2004 disponível na web
- Fundamentos de Análise Infinitesimal, Textos de Matemática: M. Figueira 1996 DM-FCUL, Lisboa
- Notas de apoio por aula teórica da disciplina: Regente da disciplina 2022 disponível na página fenix
- Mathematical Analysis: Tom Apostol 1974 2nd ed., Addison-Wesley, Reading, MA
- Principles of Mathematical Analysis: Walter Rudin 1976 3rd ed., McGraw-Hill, New York, NY