Plano de Estudos
Análise Complexa AC
Contextos
Groupo: 5_LMA 2026/27 > 1º Ciclo > Ramos > Ramo de Aplicações Fundamentais
Groupo: 5_LMA 2026/27 > 1º Ciclo > Ramos > Ramo de Aplicações Fundamentais com Minor em Informática
Groupo: 5_LMA 2026/27 > 1º Ciclo > Ramos > Ramo de Aplicações Fundamentais com Minor em Física
Groupo: 5_LMA 2026/27 > 1º Ciclo > Ramos > Ramo de Aplicações Fundamentais com Minor em História e Filosofia das Ciências
Groupo: 5_LMA 2026/27 > 1º Ciclo > Ramos > Ramo de Estatística e Investigação Operacional > 1229 - LMA - Opção B (CMAT/CEI) > 1º semestre
Groupo: 5_LMA 2026/27 > 1º Ciclo > Ramos > Ramo de Estatística e Investigação Operacional > 1228 - LMA - Opção A (CMAT/CEI/CFIS)
Groupo: 5_LMA 2026/27 > 1º Ciclo > Ramos > Ramo de Aplicações Fundamentais com Minor em Biologia
ECTS
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Esta disciplina é auto-contida, não pressupondo conhecimentos anteriores de análise complexa. Nesse sentido, o objectivo é que os alunos saiam da disciplina dominando todos os aspectos, desde os mais básicos aos mais avançados, das matérias leccionadas. Em particular, pretende-se que os estudantes dominem a construção das funções elementares complexas, o conceito de função holomorfa e suas propriedades básicas, o cálculo de integrais complexos, adquiram práticas de cálculo de integrais reais via resíduos, desenvolvam algum conhecimento de propriedades, nomeadamente geométricas, globais mais elaboradas das funções holomorfas.
Programa
Números complexos; forma aritmética e polar de complexos; raízes. Topologia de C. Sucessões em C. Funções complexas de variável complexa. Continuidade. Funções elementares: polinómios, exponencial, funções trigonométricas e hiperbólicas, logaritmos. Derivada complexa. Funções holomorfas e propriedades; equações de Cauchy-Riemann. Funções harmónicas. Integral de caminho. Teorema de Cauchy; fórmula integral de Cauchy; fórmula integral para as derivadas; aplicações ao cálculo de integrais. Teoremas de Liouville, Morera e fundamental da Álgebra. Séries séries de Taylor e analiticidade; zeros de funções analíticas. O teorema da identidade para funções holomorfas. Séries de Laurent; singularidades. Teorema dos resíduos e aplicações do cálculo de resíduos. Complementos sobre funções holomorfas: aplicações conformes; funções meromorfas. O princípio do módulo máximo. O teorema da aplicação aberta. O teorema de Rouché e aplicações. Uma introdução à função zeta de Riemann
Método de Avaliação
Exame final escrito: obrigatório. Peso na nota final entre 70% a 100%. Avaliação contínua: facultativa, consistindo em dois testes intermédios. Peso na nota final até 30%. Será escolhida a melhor nota entre a nota apenas do exame, ou a nota do exame com peso de 70% + a componente dos testes intermédios.
Carga Horária
Carga Horária de Contacto -
Trabalho Autónomo - 112.0
Carga Total -
Bibliografia
Principal
- Basic Complex Analysis: J. E. Marsden, M. J, Hoffman 1999 ISBN 0-7167-2877-X
- Análise Complexa, texto e slides do curso: T. Faria 2025 (página moodle do curso)
- Variável Complexa- Teoria Elementar e Exercícios Resolvidos: M.A. Carreira, M.S.M Nápoles 2016 ISBN: 978-972-8394-27-1
Secundária
- Real and Complex Analysis: W. Rudin 1987 ISBN 0-07-054234-1, 0-07-100276-6
- Análise Complexa: N. Costa Pereira 2023 ISBN:978-8394-33-2
- Complex Analysis: L. Ahlfors 1979
- Complex Analysis: 5.J. Bak, D.J. Newman 2010 ISBN 978-1-4419-7287-3