Mestrado Integrado em Engenharia da Energia e do Ambiente
Licenciatura em Meteorologia, Oceanografia e Geofísica
Licenciatura em Engenharia Geoespacial
DEGGE-FCUL
Departamento de Engenharia Geográfica, Geofísica e Energia
Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa
A superfície livre do oceano é frequentemente caracterizada por perturbações ondulatórias (ondas) que se propagam na direcção horizontal. Essas ondas podem ocorrer em diferentes escalas e podem ser causadas por diferentes mecanismos. No caso das ondas longas, i.e. de ondas cujo comprimento de onda é muito maior do que a profundidade do oceano, a sua dinâmica pode ser estudada recorrendo a um modelo bi-dimensional horizontal designado por modelo shallow-water (à letra, “modelo de águas pouco profundas”). O modelo shallow-water relaciona a evolução temporal de 3 campos do escoamento: as duas componentes da velocidade horizontal $(u,v)$ -- que representam a média das velocidades na vertical, ao longo da coluna de água -- e a altitude da superfície livre $(h)$, medida em relação a uma superfície de referência.
O modelo shallow-water assume que o fluído (a água) é incompressível (uma excelente aproximação para líquidos). No caso mais simples, em que se despreza a rotação da Terra (efeito de Coriolis) e o atrito, as equações do modelo podem escrever-se (na forma de fluxo):
$$ \frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial }{\partial x}(u^2) - \frac{\partial }{\partial y}(uv)- g \frac{\partial h}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial t} = -\frac{\partial }{\partial x}(uv) - \frac{\partial }{\partial y}(v^2)- g \frac{\partial h}{\partial y} \\ \frac{\partial h}{\partial t} = -\frac{\partial }{\partial x}[(h-b)u] - \frac{\partial }{\partial y}[(h-b)v] $$Onde $(u, v)$ são as componentes horizontais $(x, y)$ da velocidade da onda (média da coluna de água), $h$ é a altitude da superfície livre, e $b$ é a altitude do fundo (ver Figuras). As duas primeiras equações descrevem a condição de balanço do momento linear, sendo formas aproximadas da equação de Navier-Stokes. A terceira equação descreve a condição de conservação da massa de água, sendo uma forma da equação da continuidade.
A solução do sistema de equações shallow-water requer o conhecimento de condições iniciais, i.e., de valores de $(u, v, h)$ em t=0, em todo o domínio espacial, e de condições fronteira espaciais , i.e., de valores das mesmas variáveis, ou das suas derivadas espaciais, nas fronteiras do domínio espacial, ao longo do tempo. Uma perturbação da superfície livre no estado inicial dá origem a uma onda gravítica externa que se propaga na horizontal à velocidade:
$$ c = \sqrt{gh} $$Neste trabalho pretendemos:
Discretizar o sistema shallow-water utilizando o método de Lax, já introduzido para resolver a equação de advecção linear em duas dimensões (ver Aula 12).
Utilizar esse algoritmo para calcular a evolução da superfície livre da água.
Representar graficamente os resultados.
Estudar a sensibilidade dos parâmetros.
Utilizar uma malha retangular com 1 km de resolução: $\Delta x=\Delta y=1 km$.
Utilizar um domínio espacial com um número de pontos dado por $(N_x, N_y)$ (ver tabela).
Considerar uma superfície livre com H=4500 m de profundidade, na ausência de onda e de topografia do fundo.
A perturbação inicial na altura da superfície da água é dada por:
As velocidades inicias $(u,v)$ são nulas (zero) em todo o espaço.
Calcular a velocidade máxima da onda externa. Tendo em conta essa velocidade, calcular $\Delta t$ para o número de Courant=1. (Seria o máximo $\Delta t$ para um método explícito, provavelmente será necessário um valor menor).
Calcular $b$ (topografia do fundo), de acordo com as especificações de cada grupo, pela fórmula:
No caso da praia a leste:
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \textrm{if } x \le x_{praia}: \, & \, b=b1 \\ \textrm{else:} & \, b=min\left(H, b_1+(H-10)\frac{x-x_{praia}}{x_{max}-x_{praia}} \right) \\ \end{array} \right. \end{equation}\\ $$E no caso da praia a norte:
$$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \textrm{if } y \le y_{praia}: \, & \, b=b1 \\ \textrm{else:} & \, b=min\left(H, b_1+(H-10)\frac{y-y_{praia}}{y_{max}-y_{praia}} \right) \\ \end{array} \right. \end{equation}\\ $$Onde $(x_{max}, y_{max})$ são, respectivamente, os valores máximos do domínio na direcção x e y.
Localizar o ponto de grelha onde vai estar localizada a “estação maregráfica” $(x_{station}, y_{station})$. Posicionar duas estações maregráficas adicionais. Os 3 marégrafos devem estar alinhados (numa direcção à escolha).
Produzir uma figura com a distribuição inicial de $h$ e de $b$ (ver exemplos nas figuras com as especificações dos grupos).
Integrar durante 1000 passos de tempo.
Analisar a solução para 4 valores de $\Delta t$, correspondentes a diferentes valores do número de Courant: 0.1, 0.5, 0.8, 1 (assumindo uma velocidade máxima da onda externa constante e aplicando a fórmula para o método explícito).
Fazer a representação em "filme" do nível do mar, mostrando só os frames de 10 em 10 passos temporais.
Representar a evolução do nível do mar nos marégrafos (uma figura com 3 subplots). Localizar a chegada da onda, e comparar com a estimativa de velocidade de propagação constante.
Resolver um dos modelos anteriores com condições fronteira abertas, e comparar os resultados obtidos com condições fronteira abertas e fechadas.
Condições fronteira abertas:
$$ x=0, \, x=L_x: \,\, \frac{\partial u}{\partial x} = 0; \, \frac{\partial v}{\partial x} = 0; \, \frac{\partial h}{\partial x}=0\\ y=0, \, x=L_y: \,\, \frac{\partial v}{\partial y} = 0; \, \frac{\partial u}{\partial y} = 0; \, \frac{\partial h}{\partial y}=0 $$| Parâmetros | G1 | G2 | G3 | G4 | G5 | G6 | G7 | G8 | G9 | G10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $N_x $ | 151 | 121 | 101 | 151 | 121 | 101 | 151 | 121 | 101 | 151 |
| $N_y $ | 101 | 151 | 121 | 101 | 151 | 151 | 101 | 151 | 121 | 101 |
| $x_{station}\, (km) $ | 150 | 120 | 100 | 150 | 120 | 50 | 75 | 60 | 50 | 75 |
| $y_{station}\, (km) $ | 50 | 75 | 60 | 50 | 75 | 150 | 100 | 150 | 120 | 100 |
| $h_0\, (m) $ | 20 | 15 | 10 | 20 | 10 | -20 | -15 | -10 | -20 | -10 |
| $x_0\, (km) $ | 85 | 55 | 45 | 65 | 85 | 55 | 65 | 55 | 80 | 65 |
| $W_x\, (km) $ | 12 | 12 | 12 | 17 | 17 | 17 | 80 | 80 | 80 | 40 |
| $y_0\, (km) $ | 50 | 75 | 60 | 50 | 75 | 60 | 40 | 60 | 80 | 50 |
| $W_y\, (km) $ | 90 | 90 | 90 | 55 | 55 | 12 | 12 | 12 | 12 | 22 |
| $h_b\, (m) $ | 4455 | 4495 | 4500 | 4485 | 4475 | 4465 | 4455 | 4495 | 4500 | 4485 |
| $x_b\, (km) $ | 65 | 85 | 45 | 65 | 85 | 45 | 65 | 85 | 45 | 65 |
| $B_x\, (km) $ | 100 | 100 | 100 | 50 | 50 | 50 | 10 | 10 | 10 | 20 |
| $y_b\, (km) $ | 65 | 85 | 45 | 65 | 85 | 45 | 65 | 85 | 45 | 65 |
| $B_y\, (km) $ | 10 | 10 | 10 | 20 | 20 | 20 | 100 | 100 | 100 | 50 |
| $x_{praia}\, (km) $ | 105 | 95 | 85 | 100 | 100 | $\infty$ | $\infty$ | $\infty$ | $\infty$ | $\infty$ |
| $y_{praia}\, (km) $ | $\infty$ | $\infty$ | $\infty$ | $\infty$ | $\infty$ | 120 | 70 | 130 | 70 | 80 |