Espaços normados de dimensão finita. Compacidade

24 Setembro 2018, 17:00 • Luís Fernando Sanchez Rodrigues

Se N é subespaço (próprio) de dimensão finita de X, há em X um vector unitário x tal que d(x,N)=1.

(Riesz) Se N é subespaço (próprio) fechado de X, há em X uma sucessão de vectores unitários xi com lim d(x_i,N)=1.

Se M e N são subespaços fechados de X e N tem dimensão finita, o espaço soma M+N é fechado em X.

(Lema: se b é um vector que não está em M, existe c>0 tal que 

||m+tb|| >ou igual |t|  para todo o m em M, todo o t real.) 

Se X tem a bola unitária (ou a fronteira da bola unitária) compacta, então X tem dimensão finita.

Foi revista a caracterização dos compactos em espaços métricos. Por exemplo, A é compacto sse é completo e para cada a>0 tem uma rede-a finita.