Espaços de Banach separáveis e uniformemente convexos.

9 Novembro 2021, 10:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

.Um espaço de Banach cujo dual seja separável, i.e., tem um subconjunto numerável denso, também é separável. Consequentemente um espaço de Banach é reflexível e separável se e só se o seu dual é reflexível e separável. Num espaço de Banach separável E a bola unitária fechada do seu dual E* é metrizável na topologia fraca* <E*,E> e reciprocamente, tal como se E* é separável, a bola unitária fechada de E é metrizável na topologia fraca <E,E*>, e reciprocamente. Consequentemente, se E é separável as sucessões limitadas de E* têm subsucessões fracamente* convergentes na topologia fraca* <E*,E>. Os espaços de Banach uniformemente convexos são reflexivos (teorema de Milman-Pettis) e as suas sucessões fracamente convergentes com a convergência das normas são fortemente convergentes.