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23 Novembro 2020, 12:19 Fernando Abel da Conceição Silva

Álgebra II

https://webpages.ciencias.ulisboa.pt/~fasilva/alg2-lm/

Objetivos

Estudar conceitos fundamentais comuns para as principais estruturas da Álgebra (grupos, anéis e módulos), como homomorfismos, subestruturas, quocientes, teoremas de isomorfismo, produtos e somas diretas.

Introduzir tópicos complementares mais específicos sobre essas estruturas.

Dar exemplos de estruturas algébricas de matrizes, homomorfismos e outros operadores, pois é dessa maneira mais concreta que a álgebra abstrata geralmente se aplica.

Introduzir o lema de Zorn e ilustrar o seu uso no contexto algébrico.

Programa

Conceitos fundamentais comuns
As principais estruturas algébricas: grupos, anéis e módulos. Homomorfismos. Subestruturas. Estruturas quocientes. Teoremas de isomorfismo. Produtos diretos e somas diretas.

Grupos
Ações de grupos. Conjugação, centralizador, normalizador e centro. p-Grupos, teorema de Cauchy e teorema de Sylow.

Anéis
Ideais primos e ideais maximais. Domínios euclidianos e domínios de ideais principais. Fatorização única.

Módulos
Módulos livres. Anéis com IBN. Espaços vetoriais.

Corpos
Extensões algébricas. Corpos de decomposição. Classificação dos corpos finitos.

Bibliografia

Bibliografia principal

Texto de apoio que será publicado ao longo do semestre.
[Allenby] R. B. J. T. Allenby, Rings, Fields and Groups, 2nd ed., Edward Arnold, 1991.
[Fraleigh] J. B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7th ed., Pearson, 2014.
[Gomes] G. Gomes, Anéis e Corpos, Departamento de Matemática da FCUL, 2011.
[Hungerford-13] T. W. Hungerford, Abstract Algebra, An Introduction, 3rd ed., Brooks/Cole, 2013.

Outras referências citadas no curso

[Ash] R. B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, 2000, disponível online.
[Cameron] P. J. Cameron, Introduction to Algebra, 2nd ed., Oxford (book web page), 2008.
[Devlin] K. Devlin, The Joy of Sets, Fundamentals of Contemporary Set Theory, 2nd ed., Springer, 1993.
[Gray] J. Gray, A History of Abstract Algebra, From Algebraic Equations to Modern Algebra, Springer, 2018.
[Hall] B. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, 2nd ed., Springer, 2015.
[Hungerford-74] T. W. Hungerford, Algebra, Springer, 1974.
[Shult&al] E. Shult, and D. Surowski, Algebra, A Teaching and Source Book, Springer, 2015.

Outras leituras

History of algebra.
Increasingly Abstract Algebra.

Vídeo

Liliana Castro, Abstract Algebra, Socratica's playlist, YouTube.
The most beautiful idea in Physics – Noether's Theorem, Looking Glass Universe, YouTube.

Avaliação

A avaliação tem duas componentes: minitestes, que terão lugar nas aulas teórico-práticas, e exame final escrito. Os minitestes são opcionais e pesam 8/20 para a nota final se o aluno completar esta componente com sucesso. O exame final escrito é obrigatório e pode ser complementado por um exame oral quando o professor entender que isso é necessário para aferição da classificação.

Atualizado em 23-nov-2020
Fernando Silva <fasilva@ciencias.ulisboa.pt>


23 Novembro 2020, 12:18 Fernando Abel da Conceição Silva