23 Novembro 2020, 12:19 • Fernando Abel da Conceição Silva

Álgebra II

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Objetivos

Estudar conceitos fundamentais comuns para as principais estruturas da Álgebra (grupos, anéis e módulos), como homomorfismos, subestruturas, quocientes, teoremas de isomorfismo, produtos e somas diretas.

Introduzir tópicos complementares mais específicos sobre essas estruturas.

Dar exemplos de estruturas algébricas de matrizes, homomorfismos e outros operadores, pois é dessa maneira mais concreta que a álgebra abstrata geralmente se aplica.

Introduzir o lema de Zorn e ilustrar o seu uso no contexto algébrico.

Programa

Conceitos fundamentais comuns
As principais estruturas algébricas: grupos, anéis e módulos. Homomorfismos. Subestruturas. Estruturas quocientes. Teoremas de isomorfismo. Produtos diretos e somas diretas.

Grupos
Ações de grupos. Conjugação, centralizador, normalizador e centro. p-Grupos, teorema de Cauchy e teorema de Sylow.

Anéis
Ideais primos e ideais maximais. Domínios euclidianos e domínios de ideais principais. Fatorização única.

Módulos
Módulos livres. Anéis com IBN. Espaços vetoriais.

Corpos
Extensões algébricas. Corpos de decomposição. Classificação dos corpos finitos.

Bibliografia

Bibliografia principal

● Texto de apoio que será publicado ao longo do semestre.
● [Allenby] R. B. J. T. Allenby, Rings, Fields and Groups, 2^nd ed., Edward Arnold, 1991.
● [Fraleigh] J. B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7^th ed., Pearson, 2014.
● [Gomes] G. Gomes, Anéis e Corpos, Departamento de Matemática da FCUL, 2011.
● [Hungerford-13] T. W. Hungerford, Abstract Algebra, An Introduction, 3^rd ed., Brooks/Cole, 2013.

Outras referências citadas no curso

● [Ash] R. B. Ash, Abstract Algebra: The Basic Graduate Year, 2000, disponível online.
● [Cameron] P. J. Cameron, Introduction to Algebra, 2^nd ed., Oxford (book web page), 2008.
● [Devlin] K. Devlin, The Joy of Sets, Fundamentals of Contemporary Set Theory, 2^nd ed., Springer, 1993.
● [Gray] J. Gray, A History of Abstract Algebra, From Algebraic Equations to Modern Algebra, Springer, 2018.
● [Hall] B. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, 2^nd ed., Springer, 2015.
● [Hungerford-74] T. W. Hungerford, Algebra, Springer, 1974.
● [Shult&al] E. Shult, and D. Surowski, Algebra, A Teaching and Source Book, Springer, 2015.

Outras leituras

● History of algebra.
● Increasingly Abstract Algebra.

Vídeo

● Liliana Castro, Abstract Algebra, Socratica's playlist, YouTube.
● The most beautiful idea in Physics – Noether's Theorem, Looking Glass Universe, YouTube.

Avaliação

A avaliação tem duas componentes: minitestes, que terão lugar nas aulas teórico-práticas, e exame final escrito. Os minitestes são opcionais e pesam 8/20 para a nota final se o aluno completar esta componente com sucesso. O exame final escrito é obrigatório e pode ser complementado por um exame oral quando o professor entender que isso é necessário para aferição da classificação.

Atualizado em 23-nov-2020
Fernando Silva <fasilva@ciencias.ulisboa.pt>