Programa

Equações Diferenciais Ordinárias

Mestrado Bolonha em Matemática

Programa

1. Introdução Generalidades sobre equações diferenciais ordinárias (revisão). Alguns exemplos de dinâmica de populações e da mecânica; órbitas. 2. Teoremas de ponto fixo Derivadas de Fréchet em espaços de Banach. Princípio da contracção (revisão) e da contracção uniforme de Banach. Teorema da função implícita. Teoremas do ponto fixo de Brouwer (prova adiada) e de Schauder. 3. Propriedades Gerais de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) Existência de soluções (Peano), existência e unicidade (Picard-Lindelof), continuação de soluções, dependência contínua e dependência C^1 em relação às condições iniciais e aos parâmetros. Estabilidade de soluções (segundo Lyapunov). 4. Sistemas autónomos Generalidades sobre órbitas; retratos de fase. Teorema do fluxo tubular. Noções de estabilidade estrutural e bifurcação. Sistemas autónomos conservativos. Conjuntos invariantes e conjuntos limite. 5. Sistemas Lineares Propriedades gerais dos sistemas lineares. Estabilidade de sistemas lineares e de sistemas lineares perturbados. Sistemas lineares autónomos. Equilíbrios hiperbólicos e linearização; princípio da estabilidade linear. Teorema de Hartman-Grobman. Nocões sobre variedades centrais. 6. Soluções Periódicas Sistemas lineares periódicos; teoria de Floquet. Equação de Hill. Elementos de teoria do grau em R^n; teorema do ponto fixo de Brouwer. Existência e estabilidade de soluções periódicas. Teoria de Poincaré-Bendixson. Tópicos adicionais possíveis: Desigualdades diferenciais. Transformação de Poincaré. Funções de Lyapunov. Variedades invariantes; teorema da variedade central. Aplicação de Poincaré. Método das funções directrizes.