Elemento de área como 2-forma orientação sobre a imagem de uma carta.

Existência de funções teste e partições da unidade (explicação da sua utilidade). Integração num domínio não contido na imagem de uma única carta.

Curvatura de Gauss total.

Teorema de Gauss Bonnet local, caso de um domínio com bordo suave.

Caso de um domínio seccionalmente suave.

Consequências: cálculos de áreas, soma dos ângulos internos de triângulos geosédicos consoante a curvatura total.