Programa

Geometria Riemanniana (D)

Doutoramento Bolonha em Matemática

Programa

Variedades diferenciáveis. Fibrados vectoriais: fibrados tangente e cotangente; estrutura Riemanniana. Conexões afins: a derivada covariante; o transporte paralelo; geodésicas; o fluxo geodésico; a aplicação exponencial; vizinhanças normais. A conexão de Levi-Civita: conexões métricas e conexões simétricas; o teorema fundamental da Geometria Riemanniana; o transporte paralelo e a estrutura Riemanniana; o comprimento de arco; vizinhanças convexas; variedades completas; o Teorema de Hopf e Rinow; a variedade Riemanniana como espaço métrico. Curvatura: o tensor de curvatura e suas propriedades algébricas; curvatura seccional; variedades de curvatura seccional constante; variedades de Einstein; a curvatura e a métrica; campos de Jacobi; pontos conjugados; o teorema de Hadamard. Cálculo das Variações aplicado a geodésicas: o espaço de caminhos de uma variedade diferenciável; a energia de um caminho; o Hessiano do funcional energia; o teorema do índice de Morse. Alguns tópicos adicionais.