Funções e conjuntos mensuráveis
7 Abril 2020, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
O espaço M(X) das funções mensuráveis num conjunto X geral, munido de integral de Daniell, é um espaço vetorial, reticulado, i.e. fechado para o |.| e, portanto, para a parte positiva e negativa das funções, assim como para o Máx e o Mín. As funções somáveis são mensuráveis, mas o inverso requer algo mais, como no caso do seu valor absoluto ser dominado por uma função somável. Teoremas para a convergência pontual em quase toda a parte: o limite, respetivamente, o liminf e o limsup, de funções mensuráveis é mensurável.
Os conjuntos somáveis, e também os mensuráveis, de X são definidos a partir das respetivas funções características, cujo integral de Daniell define a sua medida, finita para os primeiros e infinita para os conjuntos mensuráveis que não são somáveis. Propriedades da medida para a união, intersecção e diferença de conjuntos—a \sigma-aditividade, ou aditividade numerável para as uniões de conjuntos disjuntos dois a dois.
Os axiomas de Stone asseguram a existência de uma função somável e estritamente positiva em todo o X, e ainda que M(X) inclui as constantes e as truncaturas de funções mensuráveis. A caraterização das funções mensuráveis através dos respetivos conjuntos de sob-nível.