Caraterização da medida de Lebesgue em R^N

23 Abril 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A \sigma-álgebra dos conjuntos mensuráveis à Lebesgue em R ^N é a menor das \sigma-álgebras que contem os borelianos e um conjunto mensurável à Lebesgue é, a menos de um conjunto de medida nula, uma união numerável de fechados e uma intersecção numerável de abertos. A noção de medida exterior em geral num conjunto X, como uma aplicação monótona e \sigma-subaditiva de qualquer subconjunto de X. Todos os conjuntos mensuráveis à Lebesgue em  R ^N constituem a maior \sigma-álgebra dos subconjuntos de R ^N onde a medida exterior é \sigma-aditiva. A medida de Lebesgue é a única medida positiva nos mensuráveis, que é \sigma-aditiva, invariante para as translações e valendo um no cubo unitário de R ^N.