15 Novembro 2019, 10:30
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Mário Jorge Edmundo
Axioma da escolha. Construção do naturais na teoria de conjuntos: o axioma do infinito; conjuntos indutivos; omega é indutivo e está contido em todos os conjuntos indutivos; princípio da indução para omega; conjuntos transitivos, outras formulações e propriedades; omega é transitivo e do o elemento de omega é transitivo; omega com sucessor e vazio é estrutura de Dedekind-Peano; notas sobre teorema da recursão e do isomorfismo de Dedekind (unicidade) para omega, identificação de omega com o conjunto dos números naturais. Mais propriedades de omega e dos elementos de omega (número naturais): nenhum número natural é elemento de si próprio, omega não é elemento de si próprio.
Continuação da aula T na aula TP: Dados dois números naturais n e m: se n pertence a m então n está estritamente contido em m e, se n está estritamente contido em m, então n pertence a m. Omega com a relação de pertença é uma ordem total estrita (na demonstração prova-se também que a interseção de dois números naturais é número natural). Princípio do mínimo para omega e pertença. Todo o número natural com a relação de pertença é uma ordem total estrita que satisfaz o princípio do mínimo. Definição de ordinal como um conjunto transitivo tal que é a relação de pertença é uma ordem total estrita que satisfaz o princípio do mínimo. Axioma da fundação (também conhecido por axioma da regularidade), casos patológicos para a pertença excluídos pelo axioma da fundação. Com o axioma da fundação \alpha é ordinal se e só se é transitivo e pertença satisfaz a propriedade de tricotomia.