Planeamento
Aulas do tipo Teórico
Leis de probabilidade
Leis de Probabilidade. Leis de probabilidade discretas univariadas. Distribuição Binomial. Teorema de DeMoivre-Laplace. Distribuição de Poisson. Leis de probabilidade contínuas num intervalo limitado. Distribuição constante no intervalo limitado. Distribuição Gaussiana truncada no intervalo limitado. Distribuição Beta no intervalo limitado [0,1]. Leis de probabilidade circulares. Momentos circulares. Lei de probabilidade circular de Von-Mises. Leis de probabilidade contínuas em intervalos ilimitados unilaterais. Distribuição exponencial no intervalo ilimitado. Distribuição Gamma no intervalo ilimitado. Distribuição Qui-quadrado. Distribuição Lognormal.
Leis de probabilidade contínuas em intervalos ilimitados bilaterais. Distribuição Gaussiana. Gaussianidade da soma. Teorema de Cramer. Teorema do Limite Central (CLT) Univariado (versão Clássica). Teorema do Limite Central (CLT) Univariado (versão Lyapunov). Distribuição Generalizada de valores extremos (Generalized Extreme Value Distribution GEV). Teorema do Limite Extremal (Extreme Limit Theorem – ELT). Distribuições extremos de Frechet, Gumbel e Weibull. Leis de probabilidade multivariadas discretas. Distribuição multinomial. Leis de probabilidade multivariadas contínuas. Natureza do vetor aleatório. Vetor adimensional. Campo especial. Grelha regular, Gaussiana e geodésica. Série temporal ou crono-série. Métrica sobre o domínio de um vetor aleatório. CDFs de Distribuições multivariadas. PDFS de distribuições multivariadas. CDFS marginais. PDFs marginais. Cópulas e suas propriedades. PDFs e CDFS condicionais. Variáveis independentes. Informação Mútua.
Esperança matemática, média e momentos. Vetor media. Matriz dos momentos de 2º grau e matriz de covariância e suas propriedades. Matriz de correlação. Propriedades da Correlação. Correlação não linear. Covariância como produto interno entre variáveis aleatórias. Matriz dos momentos e de covariância. Media e covariância de uma transformação linear. Tensor dos momentos de grau k. Média ou esperança matemática de uma função. Análise de Componentes Principais. Variância total. Teorema de Karhunen-Loève. Variância explicada pelas PCs. Modus Faciendi da PCA. EOFs rodadas e PCs rodadas. Exemplo de PCA a um campo geofísico
Inferência Estatística.
Inferência Estatística. Decomposição da média e variância. Estatísticas compósito. Estimador de mínimo erro quadrático médio e de máxima probabilidade. Regressão linear univariada. Intervalo de confiança dos coeficientes da regressão. Regressão multivariada. Preditores e preditando. Variância explicada. Overfitting. Regressão robusta. Métodos stepwise regression.
Distribuição Gaussiana multivariada e PCA
Distribuição Gaussiana multivariada. Densidade de probabilidade PDF. Análise de componentes principais (PCA) de uma distribuição Gaussiana multivariada. PDF multivariada das PCs. Distribuição bivariada Gaussiana. Efeito da correlação na PCA. Distância de Mahalanobis e sua distribuição. Teorema do Limite Central Multivariado. Teoria da Estimação. Estimadores. Erro quadrático e viés de estimador. Resistência de estimador a extremos. Estimadores da média, variância, covariância e correlação. Estimação não paramétrica da PDF. Estimadores paramétrios de máxima verosimilhança
Intervalos de confiança. Método de Bootstraping. Reamostragem e Jackknife. Testes estatísticos. Erros de 1ª e 2ª espécie. Robustez de um teste. Método de Monte-Carlo. Teste de Kolmogorov-Smirnov.
Momentos estatísticos
Esperança matemática, momentos não centrados e centrados. Esperança matemática e média amostral. Variância e variância amostral. Momentos da distribuição
Obliquidade ou Skewness. Curtose ou Kurtosis. Majorantes das probabilidades . Desigualdade de Markoff. Desigualdade de Tchebycheff e Bienaymé. Estatísticas de ordem em amostras. Quantis discretizados. Momentos L (L-moments). PDFs de máxima entropia. PDF exponencial. PDF Gaussiana.
Probabilidades. Conceitos e leis gerais das probabilidades
Probabilidades. Conceitos e leis gerais das probabilidades. Axiomas das probabilidades. Teorema da Inclusão-Exclusão. Probabilidades condicionais. Teorema de Bayes. Independência estatística. Produtos cartesianos de espaços de eventos. Variáveis aleatórias. Amostras e estimação. Teorema dos grandes números. Retorno de acontecimentos. Função probabilidade, distribuição, quantil e densidade (PDF). Função de probabilidade. Função cumulativa de distribuição de probabilidade (CDF). Função quantil. Função densidade de probabilidade. Interpretação das derivadas da PDF. Quantis e PDF. Estatísticas de ordem. PDF da função de uma variável aleatória.
Análise funcional em domínios multivariados sobre geometrias não cartesianas.
Análise funcional em domínios multivariados sobre geometrias não cartesianas. Funções ortogonais em domínios retangulares. Elementos finitos. Elementos finitos triangulares.Aproximação de funções por elementos finitos. Análise funcional em domínios multivariados sobre geometrias não cartesianas. Funções de Bessel. Harmónicas polares e cilíndricas e suas propriedades. Funções associadas de Legendre
Harmónicas esféricas e suas propriedades. Método espetral de resolução de equações diferenciais parciais. Equação de Laplace. Equação de Poisson. Equação de propagação das ondas. Equação de difusão.
Transformada de wavelet.
Transformada de wavelet. Definição de Transformada de wavelet. Tipos comuns de wavelets (mexican hat). Wavelet complexa de Morlet. Wavelets ortogonais
Transformada integral de Fourier.
Transformada integral de Fourier. Delta de Dirac e suas propriedades. Interpretação da Transformada de Fourier e filtros de convolução. Propriedades da Transformada de Fourier. Filtros e convoluções. Teorema de Plancherel. Transformada discreta de Fourier em domínio infinito. Pente de Dirac. Expressão da Transformada discreta de Fourier em domínio infinito. Falseamento ou ‘aliasing’. Transformada discreta de Fourier em domínio finito.
Séries de Fourier e suas propriedades.
Séries de Fourier. Expressão da série de Fourier. Representação de funções em série de Fourier num intervalo arbitrário finito. Convergência da série de Fourier e Teorema de Dirichlet. Identidade de Parseval
Análise funcional e funções próprias.
Análise funcional e funções próprias. Operadores lineares. Operador linear adjunto: Exemplos e propriedades. Funções próprias de um operador linear. Problemas de Sturm-Liouville (S.L.) e aplicações. Apresentação do problema S.L. Utilização de conjuntos de funções próprias na aproximação de funções.
Integração de funções por polinómios aproximadores.
Integração de funções por polinómios aproximadores. Fórmulas elementares de Integração numérica. Fórmula do ponto médio. Fórmula do trapézio. Integração com pontos igualmente espaçados num intervalo finito. Integração por quadratura de Gauss.
Interpolação e aproximação de funções.
Interpolação e aproximação de funções. Interpolação polinomial. Polinómios interpoladores de Lagrange. Erro geral da interpolação polinomial. Erro da interpolação polinomial em casos particulares. Aproximação de Taylor e Padé.
Relações entre polinómios ortogonais.
Relações de recorrência dos polinómios ortogonais. Relação de Christoffel-Darboux.
Fórmula de Rodrigues e função geradora de polinómios ortogonais. Polinómios de Legendre. Polinómios de Tchebychev. Polinómios de Laguerre. Polinómios de Hermite.
Espaços de funções polinomiais.
Espaços de funções polinomiais. Produto interno entre funções.
método ortogonalização de Gram-Schmidt. Polinómios ortogonais. Polinómios mónicos.
Operadores diferenciais em coordenadas curvilíneas.
Operadores diferenciais em coordenadas curvilíneas. Sistemas de coordenadas curvilíneas em geral e vetores covariantes e contravariantes. Base covariante e contravariante. Variações espaciais das bases covariante e contravariante e símbolos de Christoffel. Sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonais. Expressões dos vetores locais e suas variações. Divergência de um campo vetorial em coordenadas curvilíneas ortogonais. Rotacional de um campo vetorial em coordenadas curvilíneas ortogonais
Operadores diferenciais em Coordenadas Cilíndricas. Operadores diferenciais em Coordenadas esféricas.
Cálculo Integral de tensores cartesianos.
Cálculo Integral de tensores cartesianos. Fluxo de um campo tensorial através de uma superfície orientada. Fluxo no bordo de uma superfície orientada. Circulação de um campo tensorial T ao longo de uma curva orientada fechada. Teoremas Integrais em R3 e R2. Teorema do fluxo-divergência em R3 ou de Gauss ou de Ostrogradsky. Teorema de Stockes. Outras aplicações do teorema TSG-vol. Teorema de Green.
Cálculo diferencial e integral de campos tensoriais cartesianos em Rn.
Cálculo diferencial e integral de campos tensoriais cartesianos em Rn.
Campos tensoriais contínuos. Noção de Gradiente e Diferencial. Gradiente de um campo escalar. Gradiente de um campo tensorial cartesiano. Operador divergência de tensores cartesianos. Operador Laplaciano. Operador Laplaciano iterado. Operador rotacional de tensores cartesianos. Rotacional em R3. Rotacional de campos bidimensionais em R2. Identidades entre operadores diferenciais.
Tensores isotrópicos e pseudo-isotrópicos e pseudo-tensores.
Tensores isotrópicos e pseudo-isotrópicos e pseudo-tensores. Propriedades gerais. Pseudo-escalares, pseudo-vetores e pseudo-tensores.
Decomposição de tensores em vetores singulares.
Decomposição de tensores em vetores singulares. Caso de Tensores de 2ª ordem e problema de valores e vetores próprios. Generalização da SVD para tensores de ordem elevada.
Diagonalização de Tensores.
Diagonalização de Tensores. Diagonalização de Tensores Hermíticos. Números complexos e Espaços Euclideanos Complexos. Valores próprios reais de um tensor hermítico. Polinómio característico e invariantes tensoriais. Teorema de Cayley-Hamilton (CH). Funções não lineares de matrizes e aplicações.
Produto externo e tensor de Levi-Civita
Tensor alternante ou de Levi-Civita. Tensor alternante e produto externo. Tensor alternante e tensor alternante assimétrico. Produtos entre vetores e tensores de 2ª ordem. Produto misto entre 3 vetores de R3. Produto triplo. Determinante de tensor de 2ª ordem. Matriz adjuntada e inversa.
Produtos em tensores
Produto de Hadamard entre dois tensores. Produto interior ou contraído de dois tensores. Convenção de Einstein (CE) ou dos índices mudos. Aniquilação do tensor Delta de Kronecker. Outros produtos interiores.
Complementos de Cálculo vetorial
Tensores de 2ª ordem. Noção intuitiva de tensor de 2ª ordem. Representação de um tensor de 2ª ordem. Tensor Delta de Kronecker. Transposto de tensor de 2ª ordem. Tensor de 2ª ordem simétrico e antissimétrico. Vetor axial associado a um tensor de 2ª ordem em R3. Produto exterior de dois tensores.
Complementos de cálculo vetorial e tensorial.
Complementos de cálculo vetorial e tensorial. Variáveis escalares, vetoriais e tensoriais. Propriedades dos espaços vetoriais. Espaços Euclideanos, normados e métricos. Ortogonalidade e independência linear. Mudança de base.
Aulas do tipo Teórico-Prático
Exercícios sobre PCA, distâncias estatísticas e inferência estatística
Exercícios sobre PCA, distâncias estatísticas e inferência estatística
Exercícios sobre Probabilidades.
Exercícios sobre Probabilidades.
Exercícios sobre Séries de Fourier.
Exercícios sobre Séries de Fourier.
Exercícios sobre integração numérica
Exercícios sobre integração numérica
Exercícios sobre Interpolação e aproximação de funções
Exercícios sobre Interpolação e aproximação de funções
Exercícios sobre Espaços de funções polinomiais
Exercícios sobre Espaços de funções polinomiais
Exercícios sobre Cálculo diferencial e integral de campos tensoriais
Exercícios sobre Cálculo diferencial e integral de campos tensoriais
Exercícios sobre Cálculo diferencial e integral de campos tensoriais
Exercícios sobre Cálculo diferencial e integral de campos tensoriais
Exercícios sobre cálculo diferencial sobre tensores
Exercícios sobre cálculo diferencial sobre tensores
Exercícios sobre cálculo vetorial e tensorial
Exercícios sobre cálculo vetorial e tensorial
Exercícios sobre cálculo vetorial e tensorial
Exercícios sobre cálculo vetorial e tensorial