Disciplina Curricular
Análise Complexa AC
Licenciatura Bolonha em Biologia - 5_LBio 2023/24
Contextos
Grupo: 5_LBio 2023/24 > 1º Ciclo > Ramos > Ramo Biologia do Organismo e Evolução com Minor em Matemática > Opcionais > 559_Minor em Matemática
Período:
Grupo: 5_LBio 2023/24 > 1º Ciclo > Ramos > Ramo Biologia Celular e Biotecnologia com Minor em Matemática > Opcionais > 559_Minor em Matemática
Período:
Grupo: 5_LBio 2023/24 > 1º Ciclo > Ramos > Ramo Biologia Ambiental com Minor em Matemática > Opcionais > 559_Minor em Matemática
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Esta disciplina é auto-contida, não pressupondo conhecimentos anteriores de análise complexa. Nesse sentido, o objectivo é que os alunos saiam da disciplina dominando todos os aspectos, desde os mais básicos aos mais avançados, das matérias leccionadas. Em particular, pretende-se que os estudantes: 1. dominem com proficiência a fórmula de Euler, em particular como forma de construção das funções elementares complexas; 2. adquiram o conceito de holomorfia, identificando condições necessárias e suficientes para a sua ocorrência; 3. conheçam o significado teórico e prático da fórmula integral de Cauchy e adquiram práticas de cálculo de integrais reais via resíduos; 4. desenvolvam o conhecimento das propriedades globais das funções holomorfas; 5. saibam determinar séries de Laurent em casos simples; 6. adquiram conhecimento das propriedades geométricas das transformações conformes. (cf. proposta à A3ES)
Programa
Aritmética e topologia no plano complexo. Funções elementares (exponencial, trigonométricas e hiperbólicas e suas inversas;) Funções multiformes (raiz, logaritmo). Referência a superfícies de Riemann. Séries de potências. Limites e continuidade. Diferenciabilidade; equações de Cauchy-Riemann. Funções analíticas e holomorfas; Teorema de Taylor. Fórmulas integrais de Cauchy; teorema de Liouville; teorema fundamental da Álgebra. Teorema dos resíduos. Cálculo de resíduos e aplicações. Teorema de Morera. Zeros de funções analíticas; teorema de Rouché. Séries de Laurent; singularidades isoladas, polos e singularidades essenciais. Teorema de Casorati-Weierstrass. Princípio do argumento. Teoremas da aplicação aberta e da função inversa. Princípio do módulo máximo. Lema de Schwarz. Funções harmónicas. Equação de Laplace no disco. Transformações conformes. Enunciado do teorema da aplicação de Riemann.
Métodos de ensino e avaliação
A distribuição das aulas em 3hT e 1hTP semanal coloca desafios aos docentes e alunos que podem ser resolvidos de diferentes maneiras. A proposta seguinte é uma abordagem possível. Nas aulas teóricas para além do desenvolvimento teórico serão referidos exemplos explícitos, com grau de dificuldade médio ou alto, para ilustração dos resultedos. As aulas TP funcionarão em regime de problemas propostos, dos quais o docente resolverá uma selecção. Avaliação: Teste Intermédio (TI) e Exame Final (EF). Apenas o EF é obrigatório, com nota mínima de 7 valores. A componente TI, sendo facultativa, é fortemente recomendadas. A nota final é uma média ponderada dos elementos de avaliação (75%EF+25%TI ou 100%EF, aquele que for mais favorável). A informação detalhada aplicável a cada ano encontra-se no moodle. Não se realizam provas orais.