Disciplina Curricular
Cálculo Diferencial e Integral III CDI-III
Licenciatura Bolonha em Biologia - 4_Plano 2015/16 a 2022/23
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Familiarizar o estudante com a teoria básica das funções analíticas de uma variável complexa, com os fundamentos e técnicas elementares das equações diferenciais ordinárias (EDOs) escalares e sistemas lineares de EDOs e com uma introdução a séries de Fourier (motivada pela equação do calor). Deve ser dada ênfase a aplicações. Pretende-se que o estudante seja capaz de resolver problemas de nível introdutório e médio nos tópicos abordados. Em particular, deve ser capaz de usar as fórmulas integrais de Cauchy e o teorema dos resíduos para calcular integrais complexos ao longo de caminhos fechados, e de utilizar equações diferenciais na resolução de modelos matemáticos simples ligados às ciências.
Programa
Cálculo com variável complexa: números complexos (forma polar, raízes); funções complexas de variável complexa; funções exponencial, trigonométricas, logaritmos; funções holomorfas; equações de Cauchy-Riemann; integral de caminho; teorema de Cauchy; fórmulas integrais de Cauchy e aplicações; séries de potências; séries de Taylor; zeros de funções analíticas; séries de Laurent; singularidades; cálculo de resíduos; aplicações. Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs): generalidades e exemplos; métodos elementares de integração de equações diferencias ordinárias escalares; aplicações a modelos de crescimento populacional e do movimento; equações escalares lineares de ordem n; sistemas lineares de EDOs de 1a ordem; aplicações; teorema de existência e unicidade (local); método de Picard. Séries de Fourier: motivação com a equação do calor; funções periódicas; séries de Fourier; teorema de Fourier, identidade de Parseval; convergência pontual ,em média quadrática e uniforme.
Métodos de ensino e avaliação
Os conteúdos programáticos são expostos nas aulas teóricas, fazendo-se uma motivação aos diversos assuntos, algumas demonstrações, exemplos e aplicações. Nas aulas teórico-práticas exploram-se resoluções de exercícios e de problemas sobre os conteúdos da componente teórica. Exame final escrito e, eventualmente, um exame oral. Opcionalmente, dois testes durante o semestre.