Plano de Estudos

Equações com Derivadas Parciais EDP

Contextos

ECTS

6.0 (para cálculo da média)

Objectivos

No estudo das Equações com Derivadas Parciais (EDP) são abordados os principais temas da teoria moderna, nomeadamente questões de existência, unicidade e regularidade das soluções. Será dado ênfase aos métodos e às técnicas funcionais e analíticas que permitem adquirir uma base teórica sólida e abrangente em EDP, preparando o estudo de problemas mais avançados. As aplicações físicas da teoria serão exploradas paralelamente ao estudo teórico.

Programa

- Análise Clássica de quatro EDPs importantes e sua classificação. A solução da equação do transporte: casos homogéneo e não homogéneo; noção de solução fraca. A equação das ondas: solução de D’Alembert’s para uma dimensão de espaço. A equação de Laplace: solução fundamental, solução em todo o espaço, função de Green, princípio do máximo, propriedade da média, unicidade de solução. A equação do calor: solução fundamental e núcleo do calor, princípio do máximo e unicidade de solução. Métodos de energia para as ondas, calor e equações de Laplace. - Distribuições e Espaços de Sobolev Breve introdução à teoria das distribuições. Os espaços de Sobolev e algumas das suas propriedades básicas. Desigualdades de Sobolev. Transformada de Fourier, propriedades e aplicações ao estudo de EDPs e à caracterização de espaços de Sobolev H^s(R^N) para s>0. O espaço W^{m,p}(Ω), e desigualdade de Poincaré. A noção de traço e teorema de extensão. Caracterização do espaço dual H^{-1}(Ω). - Problemas elípticos e de evolução. Problemas elípticos: operadores de segunda ordem, formulação fraca, aplicação do teorema de Riesz e Lax-Milgram à resolução de problemas elípticos. Resultados de regularidade: regularidade interior e até à fronteira. Problemas de Evolução: breve introdução à teoria dos semigrupos (teorema de Hille-Yosida). Aplicação às equações do calor e das ondas.

Método de Avaliação

Os alunos resolvem folhas de exercícios em casa e produzem um relatório escrito. sendo ambos discutidos oralmente. A resolução de exercícios pode ser substituída por um exame final escrito. Em todos os casos, pode ser requerida a discussão oral.

Carga Horária

Bibliografia

Principal

• Partial Differential Equations in Action - From Modelling to Theory: S. Salsa 2009 Springer
• Partial Differential Equations: L. Evans 2010 AMS, 2nd edition
• Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations: H. Brézis 2001 Springer

Secundária

• Elliptic Partial Differential Equations of Second Order: D. Gilbarg N. S. Trudinger 2011 Springer, 2nd edition
• Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations: A. Pazy 1983 Springer
• Functional Analysis: K. Yosida 1995 Springer

Disciplinas de Execução

2023/2024 - 2 Semestre

2025/2026 - 2 Semestre