Plano de Estudos

Topologia Algébrica TAlgeb

Contextos

ECTS

9.0 (para cálculo da média)

Objectivos

O objectivo principal é treinar oaluno para futura utilisação da Topologia Algébrica em qualquer área de investigação em que seja útil. Do ponto de vista da Topologia, aprofundar o conhecimento dos espaços topológicos através dos invariantes fornecidos pela homotopia e pela homologia, com particular ênfase no estudo das superfícies de Riemann compactas. Do ponto de vista algébrico, partindo da existência de invariantes algébricos associados a espaços topológicos (aspectos functoriais da Topologia Algébrica), consolidar os conhecimentos da Teoria das Categorias e Functores, assim como de Álgebra Holomógica.

Programa

Categorias e functores. Introdução à Álgebra Homológica. Homotopia e Espaços de Revestimento. Grupo Fundamental ou de Poincaré. Somas algébricas e somas toplógicas.Teorema de Van Kampen e estudo de exmplos. Revestimento universal e classificação dos espaços de revestimento sobre um espaço base fixado. Simplexes e Homologia Singular de um espaço topológico. Excisão e Sucessão de Mayer-Vietoris. Grau de uma aplicação de S^nem S^n. CW-Complexos. Adjunção de uma n-célula a um espaço topológico. Espaços obtidos por adjunção de células. Exemplos. Homologia Relativa e Homologia Reduzida. Números de Betti e característica de Euler-Poincaré. Homologia das superfícies de Riemann compactas de R^3. Homologia dos Espaços Projectivos Reais e Complexos. Possíveis tópicos opcionais se o tempo o permitir: Cohomologia Singular e dualidade de Poincaré. Homology and cohomologia de grupos. Grupos de homotopia de ordem superior e sucessão exacta longa de homotopia. Teoria do Grau e Teoria de Morse

Método de Avaliação

As aulas serão dividas em aulas teóricas e teórico-práticas. Nas aulas teóricas será predominante a exposição do professor. Nas aulas teórico-práticas será dominante a intervação dos alunos, que apresentarão a resoluçao de exercícios ou a exposição de temas propostos previamente. Pelo menos três horas de aulas teóricas semanais. Proposta semanal de exercícios de grau de dificuldade variado, que serão discutidos nas aulas teórico-práticas e servirão de complemento de informação para a avaliação. Exame final escrito com duração de três horas. Para nota igual ou superior a 17 haverá lugar a uma exposição oral sobre um tema opcional escolhido pelo aluno.

Carga Horária

Bibliografia

Principal

• W. Fulton, Algebraic Topology, a first course, Graduate Texts in Mathematics, 153, Springer-Verlag. M. Greenberg e J. Harper, Algebraic Topology, a first course, Mathematics Lecture Notes Series, The Benjamin/Cummings, Publs. Company, 1981. W. Greub, S. Halperin e R. Vanstone, Connection Curvature and Cohomology, Vol. I, Academic Press, 1972. A. Hatcher, Algebraic Topology. W. Massey, Singular Homology Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 1980. T. Monteiro Fernandes, Topologia Algébrica e Teoria Elementar dos Feixes, Textos de Matemática, Vol. 11, Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 1998. M. Zisman, Topologie Algébrique Élémentaire, Coll. U, 1972. J P May, Concise Course in Algebraic Topology, notas online) http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf:
• W. Fulton, Algebraic Topology, a first course, Graduate Texts in Mathematics, 153, Springer-Verlag. A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 200. W. Massey, Singular Homology Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 1980. T. Monteiro Fernandes, Topologia Algébrica e Teoria Elementar dos Feixes, Textos de Matemática, Vol. 11, Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 1998. J P May, Concise Course in Algebraic Topology, notas online http://www.math.uchicago.edu/~may/CONCISE/ConciseRevised.pdf:

Secundária

Disciplinas de Execução

2019/2020 - 2 Semestre

2017/2018 - 1 Semestre

2016/2017 - 1 Semestre