Plano de Estudos
Geometria Riemanniana GRie
Contextos
Groupo: 1_MMat 2010/11 > 2º Ciclo > Parte Escolar > - > Optativas > 897_Mestrado em Matemática > 2º Ano
Groupo: 1_MMat 2010/11 > 2º Ciclo > Parte Escolar > - > Optativas > 897_Mestrado em Matemática > 2º Ano
Groupo: 1_MMat 2010/11 > 2º Ciclo > Parte Escolar > - > Optativas > 897_Mestrado em Matemática > 1º Ano
Groupo: 1_MMat 2010/11 > 2º Ciclo > Parte Escolar > - > Optativas > 897_Mestrado em Matemática > 2º Ano
Groupo: 1_MMat 2010/11 > 2º Ciclo > Parte Escolar > - > Optativas > 897_Mestrado em Matemática > 1º Ano
ECTS
9.0 (para cálculo da média)
Objectivos
O propósito deste curso é introduzir os conceitos fundamentais da geometria Riemanniana. Pretende-se que os alunos adquiram uma formação básica para que possam posteriormente desenvolver e aprofundar aspectos e áreas mais específicas da Geometria Riemanniana, entrando no caminho da investigação.
Programa
Variedades diferenciáveis. Fibrados vectoriais: fibrados tangente e cotangente; estrutura Riemanniana. Conexões afins: a derivada covariante; o transporte paralelo; geodésicas; o fluxo geodésico; a aplicação exponencial; vizinhanças normais. A conexão de Levi-Civita: conexões métricas e conexões simétricas; o teorema fundamental da Geometria Riemanniana; o transporte paralelo e a estrutura Riemanniana; o comprimento de arco; vizinhanças convexas; variedades completas; o Teorema de Hopf e Rinow; a variedade Riemanniana como espaço métrico. Curvatura: o tensor de curvatura; propriedades algébricas do tensor de curvatura; a curvatura seccional; variedades de curvatura seccional constante; variedades de Einstein; a curvatura e a métrica; campos de Jacobi; pontos conjugados; o teorema de Hadamard. Cálculo das Variações aplicado a geodésicas: o espaço de caminhos de uma variedade diferenciável; a energia de um caminho; o Hessiano do funcional energia; o teorema do índice de Morse.
Método de Avaliação
Exposição da matéria e resolução de exercícios. Exame final (obrigatório), com uma componente de avaliação contínua (opcional).
Carga Horária
Carga Horária de Contacto -
Trabalho Autónomo - 189.0
Carga Total -
Bibliografia
Principal
- - Carmo, Manfred, Geometria Riemanniana, Projecto Euclides, IMPA, 1988. - Carmo, Manfredo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, New Jersey, 1976. - Lee, John, Riemannian Manifolds, An introduction to Curvature, Springer:
- Graduate Texts in Mathematics, 1997. - O'Neill, Barrett, Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, New York, 1983.: