Disciplina Curricular
Semigrupos de operadores e equações de evolução SOEE
Mestrado Bolonha em Matemática - 2_MMat 2022/23
Contextos
Grupo: 2_MMat 2022/23 > 2º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 1º Ano > 688_Opcionais Área CMat / 1º Ano > 2º Semestre
Período:
Grupo: 2_MMat 2022/23 > 2º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 2º Ano > 689_Opcionais Área CMat / 2º Ano
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Pretende-se familiarizar o aluno com alguns nos métodos mais comuns no estudo de equações diferenciais caracterizadas por evolução no tempo, incluindo a equação do calor e a equação das ondas. Tais equações podem ser formuladas como problemas de Cauchy abstractos, cuja solução é um semigrupo de operadores, uma função exponencial com valores num espaço de Banach. O estudo destes semigrupos leva a uma teoria rica na intersecção de Análise Funcional, Equações Diferenciais e Física-Matemática. Pretende-se dar uma introdução a esta teoria e alguns aspectos. Trata-se de um curso de leitura orientada, em que serão seguidas as lecture notes listadas na bibliografia principal (que serão fornecidas aos estudantes). Esta UC pressupõe familiaridade com os conceitos da Análise Funcional. Após conclusão da UC os estudantes poderão empregar técnicas avançadas no estudo de equações de evolução.
Programa
1. Operadores e semigrupos. Operadores ilimitados. O teorema espectral para operadores com resolvente compacto. Semigrupos e semigrupos auto-adjuntos. O teorema de Hille-Yosida. 2. Núcleos integrais. Núcleos e monotonia. Operadores submarkovianos. Continuidade. Aplicação ao Laplaciano num domínio. 3. Formas e semigrupos. Formas coercivas e elípticas. Contractividade. Formas fechadas e simétricas. 4. Positividade e irreducibilidade. Invariância de conjuntos convexos e fechados. Positividade e semigrupos submarkovianos. Os critérios de Beurling--Deny. Semigrupos irredutíveis. 5. Outros tópicos. Se houver tempo suficiente: uma selecção de: teoremas de Mercer e Abel e a lei de Weyl; ultracontractividade; estimativas gaussianas. A teoria de Perron--Frobenius. Valores próprios dominantes e funções próprias positivas.
Métodos de ensino e avaliação
Tratando-se de um curso de leitura orientada, será empregado o método do "flipped learning", através do qual os estudantes irão assimilar a matéria através de leitura e trabalho independentes antes das aulas, estes conteúdos serão discutidos posteriormente nas aulas. Avaliação: Os estudantes podem escolher entre 50% apresentações (nas aulas e/ou uma apresentação final), 50% exame final, ou 100% exame final.