Disciplina Curricular
Transporte Ótimo (M) TO
Mestrado Bolonha em Matemática - 2_MMat 2022/23
Contextos
Grupo: 2_MMat 2022/23 > 2º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 2º Ano > 689_Opcionais Área CMat / 2º Ano
Período:
Grupo: 2_MMat 2022/23 > 2º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 1º Ano > 688_Opcionais Área CMat / 1º Ano > 2º Semestre
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Pretende-se familiarizar os estudantes com a teoria matemática do transporte ótimo (optimal transport), um tópico na interseção de Análise, o Cálculo das Variações, Otimização, Probabilidade e Geometria, com origens no Séc. XVIII com o trabalho de Gaspard Monge, uma redescoberta pelo Sovieta Kantorovich nos anos 1940, e a emergência da teoria moderna a partir dos anos 1990. Seguindo o livro do vencedor da medalha Fields Cédric Villani, ir-se-á introduzir a formulação básica do problema de transporte ótimo em termos da aplicação de transporte entre medidas, seguida por um tratamento dos temas clássicos: o problema de Monge, a dualidade de Kantorovich, a distância de Wasserstein. Por defeito considerar-se-á a aplicação à geometria Riemanniana; contudo, outros tópicos avançados podem ser selecionados em função do tempo disponível e dos interesses dos estudantes. O único pré-requisito é um ciclo de Análise ou equivalente; Análise Funcional e a Teoria da Medida são vantajosas mas caso necessário podem ser aprendidas a correr.
Programa
1. Introdução. Coplagens e mudanças de variável. Os fundadores do transporte ótimo. 2. Descrição qualitativa do transporte ótimo. Monotonia cíclica e dualidade de Kantorovich. Distância de Wasserstein. Resolução do problema de Monge. A equação jacobiana. 3. Transporte ótimo e geometria Riemanniana. Curvatura de Ricci. Cálculo de Otto. Convexidade de deslocação. Controlo de volume e densidade. Desigualdades isoperimétricas. Fluxos de gradiente. 4. Outros tópicos.
Métodos de ensino e avaliação
Tratando-se de um curso de leitura orientada, será empregado o método do "flipped learning", através do qual os estudantes irão assimilar a matéria através de leitura e trabalho independentes antes das aulas, estes conteúdos serão discutidos posteriormente nas aulas. A avaliação poderá consistir num exame e/ou trabalhos a realizar pelos estudantes.