Disciplina Curricular
Análise Funcional AFunc
Mestrado Bolonha em Matemática - 2_MMat 2022/23
Contextos
Grupo: 2_MMat 2022/23 > 2º Ciclo > Parte Escolar > 800_Mestrado em Matemática / Nucleares > 1º Sem
Período:
Grupo: 2_MMat 2022/23 > 2º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 2º Ano > 689_Opcionais Área CMat / 2º Ano
Período:
Grupo: 2_MMat 2022/23 > 2º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 1º Ano > 688_Opcionais Área CMat / 1º Ano > 1º Semestre
Período:
Peso
9.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Pretende-se que os alunos obtenham conhecimentos básicos de Análise Funcional, nomeadamente nos seguintes tópicos: Teoremas gerais em espaços de Banach, dualidade e convergência fraca, espaços de Hilbert e Teorema Espectral para operadores compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert. Os alunos devem ficar a manejar estes temas com o fim de os poder aplicar em outros cursos e em trabalho de investigação.
Programa
Espaços de Hilbert. Teoremas da projecção ortogonal, de representação de Riesz; séries de Fourier relativas a bases de Hilbert. Operadores compactos. Operadores auto-adjuntos. Decomposição espectral para operadores auto-adjuntos compactos. Espaços normados. Espaços quociente; projecções e hiperplanos. Teoremas fundamentais: teoremas de Hahn–Banach, de Banach–Steinhaus, da Aplicação Aberta e do Gráfico Fechado. Dualidade. Convergência fraca e fraca-estrela. Espaços reflexivos. Alguns teoremas de representação de duais. Possíveis tópicos adicionais: Teoria espectral para operadores limitados em espaços de Banach. Teoria espectral para operadores compactos. Espaços L^p.
Métodos de ensino e avaliação
Trabalhos escritos e possíveis exposições orais durante o semestre, contando para avaliação. Exame final escrito, eventualmente com exame oral.