Disciplina Curricular
Variedades Diferenciáveis VD
Mestrado Bolonha em Matemática - 2_MMat 2022/23
Contextos
Grupo: 2_MMat 2022/23 > 2º Ciclo > Parte Escolar > 800_Mestrado em Matemática / Nucleares > 1º Sem
Período:
Grupo: 2_MMat 2022/23 > 2º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 2º Ano > 689_Opcionais Área CMat / 2º Ano
Período:
Grupo: 2_MMat 2022/23 > 2º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 1º Ano > 688_Opcionais Área CMat / 1º Ano > 1º Semestre
Período:
Peso
9.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Aquisição de conhecimentos sólidos na teoria de variedades diferenciáveis e de ferramentas de cálculo diferencial e integral em variedades. Familiarização com as variedades compactas mais comuns: esferas/espaços projectivos, grupos de Lie e espaços homogéneos, grassmanianas, etc, e com alguns tópicos de representações de grupos/álgebras de Lie, e acções em variedades. Finalmente, pretende-se que os estudantes fiquem aptos a avançar, se pretenderem, para outros temas mais específicos da Geometria e/ou Topologia Diferencial e/ou Algébrica.
Programa
1. Variedades topológicas; invariância da dimensão 2. Cartas e atlas; variedades diferenciáveis e funções diferenciáveis 3. Vectores tangentes, curvas e derivações 4. Exemplos; difeomorfismos; existência de funções de suporte compacto 5. Imersões, submersões e conjuntos de nível; mergulhos e subvariedades 6. Fibrados vectoriais e secções; fibrado tangente; campos vectoriais 7. Grupos de Lie; homomorfismos, subgrupos, núcleo e imagem 8. A álgebra de Lie de um grupo de Lie; aplicação exponencial 9. Acção de um grupo numa variedade; espaços homogéneos 10. Fluxos de campos vectoriais e derivada de Lie; 11. Formas diferenciais em variedades; a fórmula de Cartan 12. Formas diferenciais fechadas e exactas 13. Variedades com bordo, orientação 14. Integração e Teorema de Stokes, 15. Cohomologia de de Rham, sequência de Mayer-Vietoris 16. Teoria do grau; polinómio e dualidade de Poincaré
Métodos de ensino e avaliação
Nas aulas teóricas é exposta a matéria, com foco em exemplos concretos. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos exercícios pelos alunos e/ou professor. Avaliação: Resolução de exercícios semanalmente (20%), participação activa nas aulas práticas (10%), Exame Final (70%).