Disciplina Curricular
Teoria dos Números Algébricos TAN
Mestrado Bolonha em Matemática - 2_MMat 2022/23
Contextos
Grupo: 2_MMat 2022/23 > 2º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 2º Ano > 689_Opcionais Área CMat / 2º Ano
Período:
Grupo: 2_MMat 2022/23 > 2º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 1º Ano > 688_Opcionais Área CMat / 1º Ano > 2º Semestre
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Familiarizar o estudante com os aspectos básicos da Teoria dos Números Algébricos e os seus aspectos técnicos
Programa
1. Introdução. - Números inteiros: divisibilidade e fatorização. - Domínios euclideanos, domínios de ideais principais e domínios de factorização única. 2. Anéis de inteiros algébricos. - Corpos de números algébricos e anéis de números inteiros algébricos. - Bases inteiras. Exemplos: corpos quadráticos e corpos ciclotómicos. Existência de bases inteiras para os ideais de um anel de números inteiros algébricos. - Domínios de Dedekind: fatorização de ideais; existência e unicidade de fatorização em ideais primos. - Teorema Chinês dos Restos: norma de um ideal; identidade fundamental sobre a fatorização dos ideais gerados por um número primo. - Teorema de Dedekind e Teorema de Dedekind-Kummer. 3. Fatorização em corpos quadráticos e em corpos ciclotómicos. 4. O grupo das classes de ideais. - Finitude do grupo das classes de ideais. - Número de classe de um corpo de números algébricos. Caracterização dos anel de inteiros que são domínios de ideais principais. - Redes e redes completas de um espaço euclideano. A cota de Minkowski. 5. Unidades em anéis de números inteiros algébricos. - Teorema das Unidades de Dirichlet. - Lema de Kummer sobre a inexistência de soluções inteiras não-triviais da equação de Fermat para números primos regulares.
Métodos de ensino e avaliação
Aulas teóricas com exposição da matéria. Aulas teórico-práticas com esclarecimento de dúvidas, discussão de problemas e resolução de exercícios.