Disciplina Curricular
Equações com Derivadas Parciais EDPar
Mestrado Bolonha em Matemática - 1_MMat 2010/11
Peso
9.0 (para cálculo da média)
Objectivos
No estudo das Equações com Derivadas Parciais (EDP) são abordados os principais temas da teoria moderna, nomeadamente questões de existência, unicidade e regularidade das soluções. Será dado ênfase aos métodos e às técnicas funcionais e analíticas que permitem adquirir uma base teórica sólida e abrangente em EDP, preparando o estudo de problemas mais avançados. As aplicações físicas da teoria serão exploradas paralelamente ao estudo teórico.
Programa
- Análise Clássica de quatro EDPs importantes e sua classificação. A solução da equação do transporte: casos homogéneo e não homogéneo; noção de solução fraca. A equação das ondas: solução de D’Alembert’s para uma dimensão de espaço. A equação de Laplace: solução fundamental, solução em todo o espaço, função de Green, princípio do máximo, propriedade da média, unicidade de solução. A equação do calor: solução fundamental e núcleo do calor, princípio do máximo e unicidade de solução. Métodos de energia para as ondas, calor e equações de Laplace. - Distribuições e Espaços de Sobolev Breve introdução à teoria das distribuições. Os espaços de Sobolev e algumas das suas propriedades básicas. Desigualdades de Sobolev. Transformada de Fourier, propriedades e aplicações ao estudo de EDPs e à caracterização de espaços de Sobolev H^s(R^N) para s>0. O espaço W^{m,p}(Ω), e desigualdade de Poincaré. A noção de traço e teorema de extensão. Caracterização do espaço dual H^{-1}(Ω). - Problemas elípticos e de evolução. Problemas elípticos: operadores de segunda ordem, formulação fraca, aplicação do teorema de Riesz e Lax-Milgram à resolução de problemas elípticos. Resultados de regularidade: regularidade interior e até à fronteira. Problemas de Evolução: breve introdução à teoria dos semigrupos (teorema de Hille-Yosida). Aplicação às equações do calor e das ondas. Nota: o programa pode ser abreviado, por motivo de força maior (e.g. pandemia).
Métodos de ensino e avaliação
Os alunos resolvem folhas de exercícios em casa e produzem um relatório escrito. sendo ambos discutidos oralmente. A resolução de exercícios pode ser substituída por um exame final escrito. Em todos os casos, pode ser requerida a discussão oral.