Disciplina Curricular
Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos EDSD
Mestrado Bolonha em Matemática - 1_MMat 2010/11
Peso
9.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Os objectivos da disciplina são rever e aprofundar alguns tópicos da teoria qualitativa de equações diferenciais ordinárias (EDO's) sob o ponto de vista geométrico e introduzir os métodos modernos da teoria dos sistemas dinâmicos, em particular a dinâmica dicreta. O estudante deve, ao finalizar o curso, estar em condições de lidar com a literatura científica corrente da área.
Programa
Equações Diferenciais: Introdução aos métodos geométricos em EDOs: retratos de fase, estabilidade e estabilidade assimptótica, campos vectoriais e fluxos. Bifurcações locais de campos vectoriais. Bifurcação perto de um equilíbrio: Sela-nó e Hopf. Variedades estável, instável e central. Conjuntos invariantes e conjuntos limites. Teorema de Poincaré-Bendixson. Sistemas Dinâmicos: Secções transversais a um fluxo e transformação de Poincaré. Sistemas dinâmicos discretos. Pontos homoclínicos transversos e caos. A aplicação de Hénon. Dependência sensível nas condições iniciais. O sistema de Lorenz. Aplicações unimodais. O cenário da duplicação do período. Dinâmica Simbólica. Ferradura de Smale. Difeomorfismos de Anosov e o gato de Arnold. Conjuntos hiperbólicos e dinâmica hiperbólica. Introdução à teoria ergódica: teoremas ergódicos de Birkhoff e von Neumann. Relação entre propriedades ergódicas e topoloógicas da dinâmica.
Métodos de ensino e avaliação
Aulas teóricas em regime expositivo, aulas práticas de resolução de problemas pelos alunos.Peq1uenos projectos de investigação propostos aos alunos e apresentados por eles no final do semestre.