Disciplina Curricular
Álgebra Não Comutativa ANC
Mestrado Bolonha em Matemática - 1_MMat 2010/11
Peso
9.0 (para cálculo da média)
Objectivos
O programa mínimo desta disciplina trata da teoria clássica de anéis não comutativos, assunto de importância central em álgebra. Historicamente, algumas das maiores descobertas realizadas em teoria de anéis ajudaram a dar forma ao desenvolvimento da álgebra moderna abstracta. Actualmente, a teoria de anéis é um ponto de encontro para a teoria de grupos, a teoria da representação, a análise funcional, a teoria de Lie, a geometria algébrica, a álgebra universal e a álgebra homológica. O programa mínimo engloba teoremas de estrutura importantes, como o de Wedderburn-Artin e o da densidade de Jacobson, sendo depois complementado por um ou mais tópicos, ainda da teoria clássica de anéis, ou sobre categrias de módulos, ou teoria de representação. Os alunos devem ficar a dominar estes temas com o fim de os poder aplicar em outros cursos e/ou em trabalho de investigação, nesta área ou em áreas afins.
Programa
Módulos e Anéis: Noções básicas sobre Módulos e Anéis. Módulos e anéis noetherianos e artinianos. Séries de decomposição. Teorema de Jordan-Hölder. Módulos livres. Dimensão de módulos sobre anéis de divisão. Módulos e Anéis Semisimples: Módulos simples e socle. Módulos semisimples. Anéis simples e semisimples. O teorema de Wedderburn-Artin. Unicidade de decomposição. Componentes simples. Anéis Primitivos: Anéis e ideais primitivos. Teorema da densidade de Jacobson. Radical de Jacobson: Radical de Jacobson. Anéis semiprimitivos. Radical de um módulo. Lema de Nakayama. Tópicos adicionais: Anéis Primos e Semiprimos. Módulos projectivos e injectivos. Teorema de Krull-Schmidt. Teorema de Hopkins-Levitski. Anéis perfeitos e semiperfeitos. Anéis de quocientes. Anéis de divisão. Produto tensorial de módulos e Anéis. Equivalência e dualidade em categorias de módulos. Introdução à Teoria de Representação.
Métodos de ensino e avaliação
Aulas teóricas e aulas teórico-práticas com exercícios e complementos sobre a matéria teórica.Exame no final do semestre.